„Idempotencia” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a Példák |
Idempotens leképezés |
||
15. sor: | 15. sor: | ||
*Az [[unió (halmazelmélet)|egyesítés]] és [[metszet (halmazelmélet)|metszetképzés]] bármely, [[halmaz]]okból álló alaphalmazon értelmezve idempotens. |
*Az [[unió (halmazelmélet)|egyesítés]] és [[metszet (halmazelmélet)|metszetképzés]] bármely, [[halmaz]]okból álló alaphalmazon értelmezve idempotens. |
||
*Tetszőleges [[Háló (matematika)|háló]] metszet és egyesítés műveletei is idempotensek |
*Tetszőleges [[Háló (matematika)|háló]] metszet és egyesítés műveletei is idempotensek |
||
==Idempotens leképezések== |
|||
Ha a definícióban szereplő <math>(A;\cdot )</math> grupoid egy tetszőleges <math>H</math> halmaz [[Függvény (matematika)|leképezéseiből]] áll (a művelet pedig a leképezések szokásos kompozíciója), akkor <math>A</math> elemeit ''idempotens leképezés''nek nevezzük. Egy <math>f \in A</math> (azaz <math>f: H \rightarrow H</math>) leképezés tehát akkor idempotens, ha <math>f(f(x))=f(x)</math> minden <math>x \in H</math>-ra. Triviális példa az idempotens leképezésre minden konstans függvény, valamint a minden elemet helyben hagyó identitásfüggvény is, de közismert idempotens leképezés a komplex vagy valós számokon értelmezett [[abszolútérték-függvény]] is. |
|||
==Informatikai jelentése== |
==Informatikai jelentése== |
A lap 2013. június 30., 21:20-kori változata
A matematikában az idempotencia a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Idempotensnek nevezzük egy algebrai struktúra valamely elemét a struktúra egy adott kétváltozós műveletére nézve, ha azokban az esetekben, amikor a művelet mindkét operandusa megegyezik az adott elemmel, akkor a művelet eredménye is megegyezik az operandusokkal, azaz a megadott elemmel. Idempotens műveletről beszélünk, ha az adott műveletre nézve a struktúra minden eleme idempotens.
Gyűrűk esetén az idempotenciát mindig a gyűrű szorzás műveletére nézve vizsgáljuk.
Definíció
Legyen tetszőleges grupoid. Ha valamely elemre teljesül, hogy , akkor azt mondjuk, hogy az idempotens elem az grupoidban. Ha minden elemre teljesül, hogy , akkor azt mondjuk, hogy a művelet idempotens az grupoidban.
Tulajdonságok
- Gyűrű minden olyan idempotens eleme, amely nem nulla és nem egység, zérusosztó.
- Bármely félcsoport tetszőleges idempotens elemére akkor és csak akkor teljesül a bal oldali egyszerűsítési szabály, ha balegységelem.
Példák
- Az egyesítés és metszetképzés bármely, halmazokból álló alaphalmazon értelmezve idempotens.
- Tetszőleges háló metszet és egyesítés műveletei is idempotensek
Idempotens leképezések
Ha a definícióban szereplő grupoid egy tetszőleges halmaz leképezéseiből áll (a művelet pedig a leképezések szokásos kompozíciója), akkor elemeit idempotens leképezésnek nevezzük. Egy (azaz ) leképezés tehát akkor idempotens, ha minden -ra. Triviális példa az idempotens leképezésre minden konstans függvény, valamint a minden elemet helyben hagyó identitásfüggvény is, de közismert idempotens leképezés a komplex vagy valós számokon értelmezett abszolútérték-függvény is.
Informatikai jelentése
Az informatikában gyakran idempotensnek nevezünk egy műveletet, ha ugyanazt az eredményt adja egyszer, illetve többször alkalmazva. Ilyen például a HTTP Get kérés (a Post-tal szemben).
Lásd még
Hivatkozások
- Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
- Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)