Faktoriális számrendszer

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A faktoriális számrendszer egy vegyes alapú számrendszer, amiben a jobbról számított i-edik jegy alapja i. Vagyis az utolsó jegy kettes, az utolsó előtti hármas, az az előtti négyes számrendszerben van, és így tovább. Ebben a számrendszerben az alapszám hatványainak szerepét a faktoriális számok töltik be; erről is kapta a számrendszer a nevét.

A faktoriális számrendszer univerzálisabb, mint a nem vegyes alapú számrendszerek, ugyanis minden egynél nagyobb egész szám alapja egy helyi érték erejéig. A definícióból adódóan a nagy számokhoz sok különböző jegy kell; minél nagyobb a szám, annál több új jelre van szükség. Tetszőlegesen nagy számok leírásához végtelen sok jel kell. Másrészt viszont minden szám leírható a 0-9 jegyekkel, ami kisebb 10!-nál, vagyis 3628800-nál.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A legnagyobb hat jeggyel felírható faktoriális alapú szám a 719:

5×5! + 4×4! + 3x3! + 2×2! + 1×1! + 0×0! = 6! − 1.

A 720 felírásához hét jegyre van szükség:

720 = 1000000!

A faktoriális számrendszerrel könnyen belátható ez az egyenlőség:

 \sum_{i=0}^n {i\cdot i!} = {(n+1)!} - 1

ugyanis az egész számok, mint egészek, csak egyféleképpen írhatók le. Emellett létezik egy másik felírásuk is, amiben a tizedesvessző után az összes természetes szám megjelenik számjegyként:

1=0,1234…

Nagy számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A faktoriális számrendszerben külön gond a nagy számok ábrázolása, hiszen ha a jegyeket tízes számrendszerben írjuk, azok összefolynak. A betűjelölés a 36-os értékű jegyig használható; utána minden helyi értékhez ki kell tenni az ott érvényes alapot.

Kapcsolat a permutációkkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A permutációk és inverziós vektoraik közötti kapcsolat

Mivel legfeljebb n jeggyel a nullát is beszámítva n! természetes szám írható le, kézenfekvő a lexikografikusan rendezett permutációkat is faktoriális számrendszerbeli számokkal jelölni. Például n=3-ra:

decimális faktoriális permutáció
010 000! (0,1,2)
110 010! (0,2,1)
210 100! (1,0,2)
310 110! (1,2,0)
410 200! (2,0,1)
510 210! (2,1,0)

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]