Diszkrét geometria

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Körök halmaza és a hozzájuk tartozó egységkörgráf

A diszkrét geometria metrikus és kombinatorikus szempontból vizsgálja különböző geometriai objektumok tulajdonságait és konstrukcióját. A legtöbb diszkrét geometriai kérdés elemi objektumok véges, vagy diszkrét halmazával foglalkozik, így pontokkal, körökkel, egyenesekkel, síkokkal, gömbökkel, sokszögekkel, és így tovább. A vizsgálat tárgya lehet például az, hogy hogy metszik egymást, vagy hogy hogyan lehet őket elrendezni úgy, hogy minél nagyobb területet fedjenek le.

A diszkrét geometria a matematika nemcsak relatíve új ága, de problémái is szerteágazóak; ezért sem magának, sem alágainak nincs teljesen szilárd felosztása és besorolása, módszertanilag is sokrétű, inkább a feladatok megfogalmazása, mintsem a megoldásuk során alkalmazott eljárások diszkrétek, mely utóbbiak elvezethetnek akár a dimenzióelméleti, akár analitikus vagy topológiai (mindkét esetben: folytonos) matematika területére, de nem ritkán a számelmélethez, kombinatorikához (mint pl. a gráfelmélet) vagy akár a lineáris algebra, ill. a nemeuklideszi geometriák világába is.

A diszkrét geometriának sok átfedése van a konvex geometriával és a komputergeometriával, és közeli kapcsolatban áll a véges geometriával, a kombinatorikus optimalizációval, a rácselmélettel, a diszkrét differenciálgeometriával, a geometrikus gráfelmélettel, a kombinatorikus topológiával és a tórikus geometriával (ami nem a tórusz geometriáját jelenti). A kombinatorikus geometria a diszkrét geometria alágának tekinthető, amikor nem metrikus, hanem számossági problémákon van a hangsúly.

Habár a poliédereket és tesszellációkat már régóta tanulmányozzák, pl. Kepler és Cauchy, a modern diszkrét geometria kezdetei a 19. század végére tehetők. Az első témák: a minél sűrűbb körpakolás (Thue), projektív konfigurációk (Reye és Steinitz), a számok geometriája (Minkowski), és térképszínezések (Tait, Heawood és Hadwiger).

Híres témák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Poliéderek és politópok
  • Poliéderes kombinatorika
  • Rácspolitópok
  • Erhart-polinomok
  • Pick-tétel
  • Hirsch-sejtés
  • Fedések, parkettázások és elhelyezések
  • Körelhelyezések
  • Gömbelhelyezések
  • Kepler-sejtés
  • Kvázikristályok
  • Nem periodikus csempézés
  • Periodikus gráfok
  • Merevség és hajlékonyság
  • Csuklós sokszögek
  • Cauchy tétele
  • Illeszkedési struktúrák
  • Konfigurációk
  • Egyenesek és hipersíkok elrendezései
  • Irányított matroidok
  • Geometrikus gráfelmélet
  • Gráfok beágyazása
  • Poliédergráfok
  • Voronoi-diagramok és Delauney-felosztások
  • Szimpliciális komplexusok
  • Topologikus kombinatorika
  • Sperner-lemma
  • Zárt felületek szimmetrikus felosztása
  • Rácsok és diszkrét csoportok
  • Tükrözéssel generált csoportok
  • Háromszögcsoportok
  • Digitális geometria
  • Diszkrét differenciálgeometria
  • Geometrikus halmazfelosztás és transzverzálisok

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]