Pick-tétel

A Pick-tétel egy diszkrét geometria témakörébe tartozó tétel. Először Georg Alexander Pick publikálta 1899-ben. A tétel egy rácssokszög területét adja meg a belsejében és az oldalain található rácspontok számából:

T=b+k/2-1

ahol b a belsejében, k az oldalain és a csúcsain található rácspontok számát jelöli.^[1]^[2]^[3]^[4]

Bizonyítás

Legyen a rácssokszög csúcsainak száma n, élein található rácspontok száma e, belsejében található rácspontok száma b. Osszuk fel a rácssokszöget maximális számú, átfedés nélküli üres rácsháromszögre! (Ahol az üres alatt azt értjük, hogy se a belsejében, se az oldalain nem tartalmaz rácspontot.) Mivel minden rácspont kizárólag csúcson lesz, élen vagy belül nem, a körülötte levő szögek mind a háromszögek csúcsainál levő szögek lesznek. Felhasználva, hogy egy háromszög szögeinek összege 180°, és hogy egy n-szög belső szögeinek összege (n-2)*180°, azt kapjuk, hogy bármilyen felosztásnál pontosan $2b+e+n-2$ üres rácsháromszög keletkezik.

Most szükségünk lesz egy lemmára: minden üres rácsháromszög területe ½.

A területét alulról korlátozhatjuk például vektoriális szorzással. Mivel minden csúcsának koordinátája egész, egyik csúcsát origónak véve a területe

T={\frac {|a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}|}{2}}

amely érték nem kisebb ½.-nél. A területet felülről korlátozhatjuk például egy ismert területű rácssokszög felvételével. Ha adott egy tetszőleges üres rácsháromszög, vegyünk fel köré egy megfelelően nagy, k oldalhosszú négyzetet. Osszuk fel a négyzetet üres rácsháromszögekre, hogy az általunk kiválasztott rácsháromszög is köztük legyen.

N = 2 · (k-1)² + 4 · (k-1) + (4 - 2) = 2 k²

darab üres rácsháromszögre bontható föl egy k² területű négyzet, tehát minden benne lévő üres rácsháromszög területe, és így az általunk belátni kívánté is ½.

Tehát egy rácssokszög területe:

T = ½ · (2 b + e + (n - 2)) = b + ½ k -1

Alkalmazásai

Jegyzetek

↑ Aigner, Martin. Proofs from THE BOOK, 6th, Springer, 93–94. o.. DOI: 10.1007/978-3-662-57265-8 (2018). ISBN 978-3-662-57265-8
↑ Ball, Keith. Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton University Press, Princeton, NJ, 25–40. o. (2003). ISBN 0-691-11321-1
↑ Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra, 2nd, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 40–43. o.. DOI: 10.1007/978-1-4939-2969-6 (2015). ISBN 978-1-4939-2968-9
↑ Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books, 183–184. o. (1991)

Források

Georg Alexander Pick (1899). „Geometrisches zur Zahlenlehre”. Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medizinischen Vereines für Böhmen „Lotos“ in Prag 19, 311–319. o. (egy, a német matematikai társaságnak Prágába küldött előadás szerkesztett változata)
Michael Schmitz, Strukturgenetische didaktische Analysen zum Satz von Georg Pick und zu Gleichungen vom Grad größer als zwei, Dissertation, Universität Flensburg, 2014 (PDF; 8,7 MB)

Kapcsolódó szócikkek

Reeve-tetraéder (en): (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) és (1, 1, r) csúcsú tetraéderek, melyeknek se az oldallapjain, se a belsejükben nincs rácspont, de különböző a térfogatuk, így bizonyítják, hogy térben ez az adat már nem határozza meg egy rácspoliéder térfogatát

Ez a geometriai témájú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[az-1] Aigner, Martin. Proofs from THE BOOK, 6th, Springer, 93–94. o.. DOI: 10.1007/978-3-662-57265-8 (2018). ISBN 978-3-662-57265-8

[ball-2] Ball, Keith. Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton University Press, Princeton, NJ, 25–40. o. (2003). ISBN 0-691-11321-1

[discretely-3] Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra, 2nd, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 40–43. o.. DOI: 10.1007/978-1-4939-2969-6 (2015). ISBN 978-1-4939-2968-9

[wells-4] Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books, 183–184. o. (1991)

[1]

[2]

[3]

[4]