Digamma-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Digamma-függvény a komplex síkon: a színek kódolják az s értékét, erősebb színek a zéró közeli értékeket mutatják

A ψ(x) jelű digamma-függvény a gamma-függvény logaritmikus deriváltja.

Ez az első poligamma-függvény.

Kapcsolat a harmonikus számokkal[szerkesztés]

A digamma-függvény (jelölései: ψ0(x), ψ0(x), vagy , a digamma (Ϝ ϝ) a preklasszikus görög ábécé hatodik betűje után) következőképpen kapcsolódik a harmonikus számokhoz:

ahol Hn az n-edik harmonikus szám, és γ az Euler-Mascheroni konstans. Félegész értékekre:

Intergrállal kifejezve[szerkesztés]

ez a kifejezés akkor érvényes, ha valós része pozitív.

Kifejezhetjük:

mely megfelel az Euler-integrálnak harmonikus számokra.

Sorozattal kifejezve[szerkesztés]

A digamma kiszámolható a komplex síkon a negatív egészeken kívül a következő képlettel:

vagy

Ez felhasználható racionális függvények végtelen szummájának számítására, például:

,

ahol p(n) és q(n) n polinomjai.

Magasabb rendű poligamma-függvény sor kiterjesztésével, egy általánosított képlet kapható:

feltéve, ha a sorozat bal oldala konvergens.

Taylor sorok[szerkesztés]

A digammának van egy racionális zéta sorozata, mely a Taylor-sorból ered z=1-nél. Ez:

,

mely konvergál |z|<1 felé. Itt a a Riemann-féle zéta-függvény.

Newton sor[szerkesztés]

A digamma Newton-sora az Euler integrál képletből adódik:

ahol a binomiális együttható.

Reflexiós képlet[szerkesztés]

A digamma-függvény reflexiós képlete hasonló a gamma-függvényével.

Gauss-összeg[szerkesztés]

A digamma Gauss-összege:

egészekre. Itt, a ζ(s,q) a Hurwitz zéta függvény, és a a Bernoulli-polinom.

Gauss digamma elmélete[szerkesztés]

Gauss digamma elmélete,[1][2] szerint m és k ( m < k), pozitív egészekre, a digamma függvény elemi függvényekkel is kifejezhető:

Közelítések[szerkesztés]

J.-M. Bernardo AS 103 algoritmusa szerint[3] a digamma-függvény x valós számokra közelíthető:

Hasonló közelítés magasabb tagokra:

Speciális értékek[szerkesztés]

Gauss digamma elmélete eredményeképpen, a digamma-függvény zárt formájú értékei racionális számokra:

Irodalom[szerkesztés]

  • Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds: "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (hely nélkül): New York: Dover. 1972. 258–259. o.  
  • Bernardo, José M: "Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation". (hely nélkül): Applied Statistics 25. 1976. 315–317. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]