Gauss-összeg

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Gauss-összeg számelmélet egyik fontos fogalma.

Ha p páratlan prímszám, \omega=\cos\left(\frac{2\pi}{p}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{p}\right) az „első” p-edik egységgyök, akkor a

G= \sum^{p-1}_{k=0} \omega^{k^2}

összeget nevezzük Gauss-összegnek.

Könnyű belátni, hogy G értéke \sqrt{p} vagy -\sqrt{p} ha p 4-gyel osztva 1-et ad maradékul és i\sqrt{p} vagy -i\sqrt{p} ha p 4-gyel osztva 3-at ad maradékul. Gauss 1801 májusában naplójában rögzítette azt a sejtését hogy a helyes érték mindig \sqrt{p}illetve i\sqrt{p}. Ezt négy évig nem tudta igazolni, noha, mint barátjának, Olbersnek 1805. szeptember 3-án megírta, nem volt olyan hét, amikor ne vette volna elő a problémát. Végül „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst…” (váratlan villámcsapásként megláttam a probléma megoldását).

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gauss általánosan megmutatta, hogy minden pozitív egész N számra, ha

\omega=\cos\left(\frac{2\pi}{N}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{N}\right)

akkor

\sum^{N}_{k=1}\omega^{k^2}=
\begin{cases}
\sqrt{N} & \mbox{ha }N\equiv 1 \pmod{4}\\ 
0 & \mbox{ha }N\equiv 2 \pmod{4}\\ 
i\sqrt{N} & \mbox{ha }N\equiv 3 \pmod{4}\\ 
(1+i)\sqrt{N} & \mbox{ha }N\equiv 0 \pmod{4}
\end{cases}

Gauss vizsgálta a

G_3=\sum^{p}_{k=1}\omega^{k^3}

összeget is. A Disquisitiones Arithmeticae-ben megállapította, hogy ha p\equiv 1\pmod{3}, akkor 4p=A^2+27B^2 alakban írható, és ha kikötjük, hogy A\equiv 1 \pmod{3} legyen, akkor G_3 gyöke az irreducibilis x^3-3px-Ap polinomnak.