Gauss-összeg

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Gauss-összeg számelmélet egyik fontos fogalma.

Ha páratlan prímszám, az „első” p-edik egységgyök, akkor a

összeget nevezzük Gauss-összegnek.

Könnyű belátni, hogy értéke vagy ha 4-gyel osztva 1-et ad maradékul és vagy ha 4-gyel osztva 3-at ad maradékul. Gauss 1801 májusában naplójában rögzítette azt a sejtését hogy a helyes érték mindig illetve . Ezt négy évig nem tudta igazolni, noha, mint barátjának, Olbersnek 1805. szeptember 3-án megírta, nem volt olyan hét, amikor ne vette volna elő a problémát. Végül „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst…” (váratlan villámcsapásként megláttam a probléma megoldását).

Általánosítás[szerkesztés]

Gauss általánosan megmutatta, hogy minden pozitív egész számra, ha

akkor

Gauss vizsgálta a

összeget is. A Disquisitiones Arithmeticae-ben megállapította, hogy ha , akkor alakban írható, és ha kikötjük, hogy legyen, akkor gyöke az irreducibilis polinomnak.