Trigamma-függvény

A trigamma-függvény, ψ₁(z), a második poligamma-függvény. Definíciója:

$\psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)$.

Ebből a definícióból következik:

$\psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)$

Ahol ψ(z) a digamma-függvény. A trigamma-függvény definiálható sorozat összegeként is:

$\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},$

melynek a Hurwitz zéta-függvény egy speciális esete: $\psi _{1}(z)=\zeta (2,z).{\frac {}{}}$

Megjegyzés: a két utóbbi formula csak akkor érvényes, ha 1 - z nem természetes szám

Trigamma függvény ψ₁(z), , a komplex síkon, erősebb színek jelzik a zéróhoz közeli értékeket

Tulajdonságok

Dupla integrált forma

$\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x}}\,dx\,dy$

Kapcsolat a geometriai sorral

$\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx$

Bernoulli-számokkal kifejezve

$\psi _{1}(1+z)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}$.

Rekurzív sorozat

A trigamma-függvény kifejezhető rekurzív sorozattal:

$\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}$

Reflexiós formulával

$\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).\,$

Speciális értékek

$\psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8K$

$\psi _{1}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}$

$\psi _{1}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

ahol K a Catalan-állandó

Források

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. (hely nélkül): Dover Publications, New York. 1964. ISBN 0-486-61272-4  

Kapcsolódó szócikkek

• Catalan-állandó
• Poligamma-függvény
• Euler-integrál
• Gamma-függvény
• Faktoriális
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika