Bernoulli-számok

A Bernoulli-számok a számelméletben előforduló fogalom. Olyan racionális számokból álló sorozatot jelöl, amelyeket a következő rekurzió határoz meg:

$B_{0}=1$, továbbá

$B_{0}+2B_{1}=0$

$B_{0}+3B_{1}+3B_{2}=0$

$B_{0}+4B_{1}+6B_{2}+4B_{3}=0$

$B_{0}+5B_{1}+10B_{2}+10B_{3}+5B_{4}=0$

Így adódik a $B_{0}=1,B_{1}=-{\frac {1}{2}},B_{2}={\frac {1}{6}},B_{3}=0,B_{4}=-{\frac {1}{30}},B_{5}=0,B_{6}={\frac {1}{42}}\dots$ sorozat.

A definíció alapján kaphatjuk, hogy teljesül a

${\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}t^{n}$

sorfejtés. Ebből igazolható, hogy $B_{3}=B_{5}=B_{7}=\cdots =0$.

A Bernoulli-számok a Riemann-féle zéta-függvény segítségével is definiálhatóak a következőképpen:

$B_{2n}=2(-1)^{n+1}{\frac {\zeta (2n)\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}.$

Különféle sorfejtésekben is előfordulnak, például

$\sum _{k=0}^{m-1}k^{n}={1 \over {n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose {k}}B_{k}m^{n+1-k}.$

${\rm {tg}}\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}$

${\rm {ctg}}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}$

A Bernoulli-számok számlálói és nevezői

T. Claussen és C. von Staudt egymástól függetlenül a következő tételt fedezte fel:

Ha m legalább 1, akkor

$B_{2m}+\sum {\frac {1}{p}}$

egész szám, ahol azon p prímszámokra összegzünk, amelyekre p-1 osztja 2m-t.

Mivel 2-1=1 és 3-1=2 osztója 2-nek, innen azonnal adódik Rámánudzsan észrevétele, hogy ekkor $B_{2m}$ nevezője osztható 6-tal.

Aszimptotikus becslés

n nagy értékeire érvényes a következő aszimptotikus formula:

$\left|{B_{2n}}\right|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}$