Bernoulli-számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Definíció[szerkesztés]

A Bernoulli-számok a következő rekurzióval keletkeznek: , továbbá

Így adódik a sorozat.

A definíció alapján kaphatjuk, hogy teljesül a

sorfejtés. Ebből igazolható, hogy .

A Bernoulli-számok a Riemann-féle zéta-függvény segítségével is definiálhatóak a következőképpen:

Különféle sorfejtésekben is előfordulnak, például

A Bernoulli-számok számlálói és nevezői[szerkesztés]

T. Claussen és C. von Staudt egymástól függetlenül a következő tételt fedezte fel:

Ha m legalább 1, akkor

egész szám, ahol azon p prímszámokra összegzünk, amelyekre p-1 osztja 2m-t.

Mivel 2-1=1 és 3-1=2 osztója 2-nek, innen azonnal adódik Rámánudzsan észrevétele, hogy ekkor nevezője osztható 6-tal.

Aszimptotikus becslés[szerkesztés]

n nagy értékeire érvényes a következő aszimptotikus formula: