A Bernoulli-számok a következő rekurzióval keletkeznek:
B
0
=
1
{\displaystyle B_{0}=1}
B
0
+
2
B
1
=
0
{\displaystyle B_{0}+2B_{1}=0}
B
0
+
3
B
1
+
3
B
2
=
0
{\displaystyle B_{0}+3B_{1}+3B_{2}=0}
B
0
+
4
B
1
+
6
B
2
+
4
B
3
=
0
{\displaystyle B_{0}+4B_{1}+6B_{2}+4B_{3}=0}
B
0
+
5
B
1
+
10
B
2
+
10
B
3
+
5
B
4
=
0
{\displaystyle B_{0}+5B_{1}+10B_{2}+10B_{3}+5B_{4}=0}
Így adódik a
B
0
=
1
,
B
1
=
−
1
2
,
B
2
=
1
6
,
B
3
=
0
,
B
4
=
−
1
30
,
B
5
=
0
,
B
6
=
1
42
…
{\displaystyle B_{0}=1,B_{1}=-{\frac {1}{2}},B_{2}={\frac {1}{6}},B_{3}=0,B_{4}=-{\frac {1}{30}},B_{5}=0,B_{6}={\frac {1}{42}}\dots }
A definíció alapján kaphatjuk, hogy teljesül a
t
e
t
−
1
=
∑
n
=
0
∞
B
n
n
!
t
n
{\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}t^{n}}
sorfejtés. Ebből igazolható, hogy
B
3
=
B
5
=
B
7
=
⋯
=
0
{\displaystyle B_{3}=B_{5}=B_{7}=\cdots =0}
A Bernoulli-számok a Riemann-féle zéta-függvény segítségével is definiálhatóak a következőképpen:
B
2
n
=
2
(
−
1
)
n
+
1
ζ
(
2
n
)
(
2
n
)
!
(
2
π
)
2
n
.
{\displaystyle B_{2n}=2(-1)^{n+1}{\frac {\zeta (2n)\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}.}
Különféle sorfejtésekben is előfordulnak, például
∑
k
=
0
m
−
1
k
n
=
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
(
n
+
1
k
)
B
k
m
n
+
1
−
k
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}k^{n}={1 \over {n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose {k}}B_{k}m^{n+1-k}.}
t
g
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
{\displaystyle {\rm {tg}}\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}}
c
t
g
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
2
n
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
{\displaystyle {\rm {ctg}}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}}
A Bernoulli-számok számlálói és nevezői [ szerkesztés ] T. Claussen és C. von Staudt egymástól függetlenül a következő tételt fedezte fel:
Ha m legalább 1, akkor
B
2
m
+
∑
1
p
{\displaystyle B_{2m}+\sum {\frac {1}{p}}}
egész szám, ahol azon p prímszámokra összegzünk, amelyekre p -1 osztja 2m -t.
Mivel 2-1=1 és 3-1=2 osztója 2-nek, innen azonnal adódik Rámánudzsan észrevétele, hogy ekkor
B
2
m
{\displaystyle B_{2m}}
Aszimptotikus becslés [ szerkesztés ] n nagy értékeire érvényes a következő aszimptotikus formula:
|
B
2
n
|
∼
4
π
n
(
n
π
e
)
2
n
{\displaystyle \left|{B_{2n}}\right|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}}
