Cayley–Hamilton-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Arthur Cayleyről és William Rowan Hamiltonról elnevezett Cayley–Hamilton-tétel a lineáris algebra, azon belül is a mátrixalgebra jelentős tétele. Azt mondja ki, hogy a komplex test feletti tetszőleges A négyzetes mátrix kielégíti saját karakterisztikus egyenletét.[1]

A tételt először Hamilton bizonyította 1862-ben, de csak egy speciális esetben, a kvaterniók által alkotott vektortérre.[2][3][4][5]

Példa[szerkesztés]

Legyen

Akkor A karakterisztikus polinomja

Így

ami egybevág a tétel állításával.

Ekvivalens megfogalmazás[szerkesztés]

A tétel ekvivalens azzal az állítással, hogy az A négyzetes mátrix minimálpolinomja osztója A karakterisztikus polinomjának.

Valóban, ha a A minimálpolinomja , akkor definíció szerint A kielégíti -et és így ha osztója A karakterisztikus polinomjának, akkor A kielégíti azt is.

Megfordítva, A minimálpolinomja, , osztója minden olyan polinomnak, amelynek A gyöke, így ha A gyöke a saját karakterisztikus polinomjának, akkor szükségképpen osztója -nek.

Általánosítás[szerkesztés]

Noha a tétel eredeti formájában a komplex test feletti mátrixokról szól, az állítás tetszőleges kommutatív gyűrű felett is igaz.

Hivatkozások[szerkesztés]

  1. Linear Algebra. Addison-Wesley (1972). ISBN 0-201-04211-8 
  2. Linear Operators and the 'Cayley-Hamilton Theorem'
  3. W.R. Hamilton: On a New and General Method of Inverting a Linear and Quaternion Function of a Quaternion. Proceedings of the Royal Irish Academy, volume 8 (1864), pp. 182-183.
  4. W.R. Hamilton: On the Existence of a Symbolic and Biquadratic Equation, which is satisfied by the Symbol of Linear Operation in Quaternions. Proceedings of the Royal Irish Academy, volume 8 (1864), pp. 190-191.
  5. W.R. Hamilton: On the Existence of a Symbolic and Biquadratic Equation, which is satisfied by the Symbol of Linear or Distributive Operation on a Quaternion. Philosophical Magazine, volume 24 (4th series) (1862), pp. 127-128.