Cayley–Hamilton-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Arthur Cayleyről és William Rowan Hamiltonról elnevezett Cayley–Hamilton-tétel a lineáris algebra, azon belül is a mátrixalgebra jelentős tétele. Azt mondja ki, hogy a komplex test feletti tetszőleges A négyzetes mátrix kielégíti saját karakterisztikus polinomját.[1]

A tételt először Hamilton bizonyította 1862-ben, de csak egy speciális esetben, a kvaterniók által alkotott vektortérre.[2][3][4][5]

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen

A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}

Akkor A karakterisztikus polinomja

p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\
-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2.

Így

p(A)=A^2-5A-2I_2=
\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}=
=
\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix},

ami egybevág a tétel állításával.

Ekvivalens megfogalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tétel ekvivalens azzal az állítással, hogy az A négyzetes mátrix minimálpolinomja osztója A karakterisztikus polinomjának.

Valóban, ha a A minimálpolinomja m, akkor definíció szerint A kielégíti m-et és így ha m osztója A karakterisztikus polinomjának, akkor A kielégíti azt is.

Megfordítva, A minimálpolinomja, m, osztója minden olyan polinomnak, amelynek A gyöke, így ha A gyöke a saját p karakterisztikus polinomjának, akkor m szükségképpen osztója p-nek.

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Noha a tétel eredeti formájában a komplex test feletti mátrixokról szól, az állítás tetszőleges kommutatív gyűrű felett is igaz.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Linear Algebra. Addison-Wesley (1972). ISBN 0-201-04211-8 
  2. Linear Operators and the 'Cayley-Hamilton Theorem'
  3. W.R. Hamilton: On a New and General Method of Inverting a Linear and Quaternion Function of a Quaternion. Proceedings of the Royal Irish Academy, volume 8 (1864), pp. 182-183.
  4. W.R. Hamilton: On the Existence of a Symbolic and Biquadratic Equation, which is satisfied by the Symbol of Linear Operation in Quaternions. Proceedings of the Royal Irish Academy, volume 8 (1864), pp. 190-191.
  5. W.R. Hamilton: On the Existence of a Symbolic and Biquadratic Equation, which is satisfied by the Symbol of Linear or Distributive Operation on a Quaternion. Philosophical Magazine, volume 24 (4th series) (1862), pp. 127-128.