Nullmátrix

Nullmátrix -vagy zérusmátrix- a matematikában, ezen belül a lineáris algebrában egy olyan mátrix, melynek minden eleme zéró (0). A nullmátrixot helyenként szokás (esetleg vastagon szedett) zéróval jelölni: $0_{m,n}$ (az indexben a sorok illetve oszlopok száma szerepel).

Néhány példa:

$0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.$

A $0_{m,n}$ nullmátrix az $m\times n$-es mátrixok additív csoportjának neutrális eleme. Egy nullmátrix és bármely vele összeszorozható mátrix szorzata nullmátrix.

Tulajdonságok

Az R gyűrű feletti $m\times n$-es mátrixok a mátrixösszeadásra és -szorzásra nézve gyűrűt alkotnak; jelölje ezt $R_{m,n}$. Ebben a gyűrűben a $0_{R_{m,n}}$ nullmátrix is az a mátrix, amelynek minden eleme $0_{R}$, ahol $0_{R}$ az R zéruseleme.

$0_{R_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{R}&0_{R}&\cdots &0_{R}\\0_{R}&0_{R}&\cdots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\cdots &0_{R}\end{bmatrix}}_{m\times n}$

A nullmátrix az $R_{m,n}$ gyűrű zéruseleme. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy bármely $A\in R_{m,n}\,$ mátrixra

$0_{R_{m,n}}+A=A+0_{R_{m,n}}=A.$

A lineáris algebrában a nullmátrix azt a lineáris transzformációt reprezentálja, ami minden vektort a zéróvektorba (csupa nulla koordinátájú vektor) küld.

A mátrixszorzás definciójából következően ha $A\in R_{n,k}\,$, akkor

$0_{R_{m,n}}A=0_{R_{m,k}}$

Speciálisan ha m = n, akkor a négyzetes $0_{R_{m,m}}$ mátrix idempotens mátrix, azaz a négyzete önmaga.

A nullmátrix az egyetlen olyan mátrix, aminek rangja nulla. (Ez a rang definíciójának egyenes következménye.)

Lásd még

• Egységmátrix
• Nilpotens mátrix

Források

• Lang, Serge. Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, 25. o. (1987). ISBN 9780387964126 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zero matrix című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.