Nullmátrix

Nullmátrix -vagy zérusmátrix- a matematikában, ezen belül a lineáris algebrában egy olyan mátrix, melynek minden eleme zéró (0). A nullmátrixot helyenként szokás (esetleg vastagon szedett) zéróval jelölni: $0_{m,n}$ (az indexben a sorok illetve oszlopok száma szerepel).

Néhány példa:

0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.

A $0_{m,n}$ nullmátrix az $m\times n$ -es mátrixok additív csoportjának neutrális eleme. Egy nullmátrix és bármely vele összeszorozható mátrix szorzata nullmátrix.

Tulajdonságok

Az R gyűrű feletti $m\times n$ -es mátrixok a mátrixösszeadásra és -szorzásra nézve gyűrűt alkotnak; jelölje ezt $R_{m,n}$ . Ebben a gyűrűben a $0_{R_{m,n}}$ nullmátrix is az a mátrix, amelynek minden eleme $0_{R}$ , ahol $0_{R}$ az R zéruseleme.

0_{R_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{R}&0_{R}&\cdots &0_{R}\\0_{R}&0_{R}&\cdots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\cdots &0_{R}\end{bmatrix}}_{m\times n}

A nullmátrix az $R_{m,n}$ gyűrű zéruseleme.^[1] Ez definíció szerint azt jelenti, hogy bármely $A\in R_{m,n}\,$ mátrixra

0_{R_{m,n}}+A=A+0_{R_{m,n}}=A.

A lineáris algebrában a nullmátrix azt a lineáris transzformációt reprezentálja, ami minden vektort a zéróvektorba (csupa nulla koordinátájú vektor) küld.^[2]

A mátrixszorzás definíciójából következően ha $A\in R_{n,k}\,$ , akkor

0_{R_{m,n}}A=0_{R_{m,k}}

Speciálisan ha $m = n$ , akkor a négyzetes $0_{R_{m,m}}$ mátrix idempotens mátrix, azaz a négyzete önmaga.

A nullmátrix az egyetlen olyan mátrix, aminek rangja nulla. (Ez a rang definíciójának egyenes következménye.)

Lásd még

Jegyzetek

↑ Warner, Seth (1990), Modern Algebra, Courier Dover Publications, 291. o, ISBN 9780486663418, The neutral element for addition is called the zero matrix, for all of its entries are zero.
↑ Bronson, Richard; Costa, Gabriel B. (2007), Linear Algebra: An Introduction, Academic Press, 377. o, ISBN 9780120887842, The zero matrix represents the zero transformation 0, having the property 0(v) = 0 for every vector v ∈ V.

Források

Lang, Serge (1987). Linear Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 25. o. ISBN 9780387964126.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zero matrix című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[1] Warner, Seth (1990), Modern Algebra, Courier Dover Publications, 291. o, ISBN 9780486663418, The neutral element for addition is called the zero matrix, for all of its entries are zero.

[2] Bronson, Richard; Costa, Gabriel B. (2007), Linear Algebra: An Introduction, Academic Press, 377. o, ISBN 9780120887842, The zero matrix represents the zero transformation 0, having the property 0(v) = 0 for every vector v ∈ V.

[1]

[2]