Általános magasságtétel

Az általános magasságtétel az euklideszi geometria egyik elemi tétele, mely egy háromszög magasságát az oldalak (négyzetgyök-kifejezést tartalmazó) függvényében adja meg; kimondja, hogy egy háromszög három oldalának ismeretében kiszámítható a háromszög bármelyik magassága. Az általános magasságtételt egyébként a derékszögű háromszögekre vonatkozó magasságtételtől való megkülönböztetés érdekében mondjuk „általánosnak”.

Például ha a háromszögoldalak $a,b,c$ $\left(\in \mathbb {R} ^{+}\right)$, akkor a $c$ oldalhoz tartozó magasságot az alábbi tört alakú képlet adja meg:

$m_{c}={\frac {{\sqrt {a+b+c}}\cdot {\sqrt {-a+b+c}}\cdot {\sqrt {a-b+c}}\cdot {\sqrt {a+b-c}}}{2c}}=$

$={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}}{2c}}$

amely mindig értelmes, nem negatív valós szám; tetszőleges $a,b,c\geq 0$ számokra ugyanis a háromszög-egyenlőtlenség miatt a gyökjelek alatti kifejezések nemnegatívak. Hasonlóan lehet a többi oldalhoz tartozó magasságot is kiszámítani, csak a képlet nevezőjében nem a $c$, hanem a megfelelő oldallal kell osztani.

Szavakban megfogalmazva, egy háromszög adott oldalhoz tartozó magasságát úgy számíthatjuk ki, hogy a három oldal összegét megszorozzuk az oldalak olyan előjeles összegeivel, melyekben mindig pontosan egy oldal -1, a többi +1 együtthatóval szerepel, az így kapott négytényezős szorzatból négyzetgyököt vonunk, és osztjuk az adott oldal kétszeresével. Figyeljük meg, hogy a törtképlet számlálója nem függ attól, épp melyik oldalhoz tartozó magasságot számítjuk: a számláló az $a,b,c$ paraméterekre nézve teljesen szimmetrikus. Ennek így is kell lennie, hisz ha jobban megnézzük (pontosabban c-vel szorzunk és osztunk 2-vel), a számláló a háromszög területének a négyszerese.

Az általános magasságtétel – amely tompaszögű háromszögekre ugyanúgy érvényes, mint a hegyesszögűekre és a derékszögűekre – bizonyítása a Pitagorasz-tételen alapulhat, és egyik fontos matematikai alkalmazását a Hérón-képlet levezetésében találjuk, mely utóbbi bizonyítása az általános magasságtételből tulajdonképp csak annyi, hogy egy új változót vezetünk be (az $s={\frac {a+b+c}{2}}$ félkerületet).

Lásd még

• Hérón-képlet
• Háromszög magassága

Irodalom

• Dr. Gerőcs László: Irány az egyetem! – 1995. Példatár. Nemzeti tankönyvkiadó, Bp., 1995. ISBN 9631861880 [E könyvben a Pitagorasz-tételre alapozó bizonyítás is megtalálható.]