Viriáltétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A mechanikában a viriáltétel általános összefüggést ad valamely, helyzeti erők által határolt, N részecskét tartalmazó stabil rendszer időbeli átlagos teljes kinetikus energiája (\left\langle T \right\rangle) és időbeli átlagos teljes helyzeti energiája (\left\langle V_\text{TOT} \right\rangle) között (a szögletes zárójelek a zárójelben lévő mennyiség időbeli átlagát jelölik). Matematikailag az elmélet állítása:


2 \left\langle T \right\rangle = -\sum_{k=1}^N \left\langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \right\rangle

ahol Fk a k-ik részecskére ható erő, mely az rk pozícióban van.

A ’viriál’ szó a latin 'vis'-ből származik, mely erőt, vagy energiát jelent. A definíciót Rudolf Clausius, német fizikus adta meg 1870-ben. .[1] A viriáltétel jelentősége az, hogy lehetővé teszi az átlagos kinetikus energia kiszámítását, még komplikált rendszerek esetén is, amikor a statisztikai mechanika módszereivel ez nem oldható meg. Ez az átlagos, és teljes kinetikus energia az ekvipartíció-tételhez hasonlóan kapcsolódik a rendszer hőkapacitásához. A viriáltétel akkor is érvényes, ha egy rendszer nincs termikus egyensúlyi állapotban. A viriáltételt sokféleképpen szokták általánosítani, a legjobban ismert eljárás, a tenzoros forma. Ha egy rendszerben két részecske között ható erő a potenciális energiából V(r) = αr n származik, akkor ez arányos a részecskék közötti átlagos távolsággal r, és felírhatjuk az elmélet egyszerűbb formuláját:


2 \langle T \rangle = n \langle V_\text{TOT} \rangle.

Vagyis a teljes átlagos kinetikus energia \left\langle T \right\rangle kétszerese egyenlő az átlagos teljes helyzeti energia n-szeresével \left\langle V_\text{TOT} \right\rangle. A V(r), két részecske közötti helyzeti energia, VTOT a rendszer teljes helyzeti energiája, azaz, a V(r), helyzeti energiák szummája, az összes részecskepárra vonatkozik. Egy példa az ilyen rendszerekre a csillag, melyet saját gravitációja tart össze, ahol n egyenlő −1.

Definíciók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

N számú részecske esetén az I a tehetetlenség skalár momentuma (lendülete):


I = \sum_{k=1}^{N} m_{k} |\mathbf{r}_{k}|^{2} = \sum_{k=1}^{N} m_{k} r_{k}^{2}

ahol mk és rk jelölik a k-ik részecske tömegét és pozícióját. . rk=|rk| a vektor pozíció vektor nagyságrendje. A skalár viriális G:


G = \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \mathbf{r}_k

ahol pk a k –ik részecske momentum vektora. Feltételezve, hogy a tömegek állandóak, a viriális G, fele a tehetetlenségi momentum idő szerinti deriváltja


\frac{1}{2} \frac{dI}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \sum_{k=1}^N m_{k} \, \mathbf{r}_k \cdot \mathbf{r}_k = \sum_{k=1}^N m_{k} \, \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} \cdot \mathbf{r}_k = \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \mathbf{r}_k = G\,.

fordítva:


\begin{align}
\frac{dG}{dt} & = \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} +
\sum_{k=1}^N \frac{d\mathbf{p}_k}{dt} \cdot \mathbf{r}_k \\
& = \sum_{k=1}^N m_k \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} + \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \\
& = 2 T + \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k\,,
\end{align}

ahol mk a k-ik részecske tömege, \mathbf{F}_k = \frac{d\mathbf{p}_k}{dt} a tiszta erő, mely a részecskére hat, és T a rendszer teljes kinetikus energiája: 
T = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^N m_k v_k^2 = 
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^N m_k \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{r}_k}{dt}.

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1903-ban Lord Rayleigh publikált egy általánosítást a viriáltételre.[2] Henri Poincaré a kozmológia stabilitással kapcsolatban használta a viriáltétel egy képletét.[3] Ledoux, 1945-ben fejleszett ki egy változatot az elméletre.[4] Egy tenzoros formulát fejlesztett Parker,[5], Chandrasekhar[6] és Fermi.[7] Pollard 1964-ben publikálta a viriális elmélet általánosítását az inverz négyzetes törvény esetére [8][9]: 2\lim\limits_{\tau\rightarrow+\infty}\langle T\rangle_\tau = \lim\limits_{\tau\rightarrow+\infty}\langle U\rangle_\tau igaz, és csak akkor igaz, ha \lim\limits_{\tau\rightarrow+\infty}{\tau}^{-2}I(\tau)=0. .[10]

Az elektromágneses tér és a viriáltétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A viriáltétel kiterjeszthető az elektromágneses térre.[11] Az eredmény:


\frac{1}{2}\frac{d^2I}{dt^2}
+ \int_Vx_k\frac{\partial G_k}{\partial t} \, d^3r 
= 2(T+U) + W^E + W^M - \int x_k(p_{ik}+T_{ik}) \, dS_i,

ahol I a tehetetlenségi momentum, a G az elektromágneses tér momentum sűrűsége, T a folyadék kinetikus energiaja, U a részecskék véletlenszerű termikus energiája, WE és WM az elektromos – és elektromágneses energiák. pik a folyadék-nyomás tenzor, a lokális mozgó koordináta-rendszerben kifejezve.


p_{ik}
= \Sigma n^\sigma m^\sigma \langle v_iv_k\rangle^\sigma
- V_iV_k\Sigma m^\sigma n^\sigma,

és Tik az elektromágneses nyomás tenzor,


T_{ik}
= \left( \frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0} \right) \delta_{ik}
- \left( \varepsilon_0E_iE_k + \frac{B_iB_k}{\mu_0} \right).

A plazmoid, a mágneses tér és a plazma végső konfigurációja. A viriáltétel alapján könnyen belátható, hogy ilyen konfiguráció létrejöhet, ha nem éri külső erőhatás. Nyomás nélkül a felületi integrál eltűnik az ilyen végső konfigurációnál.. Mivel az összes jobboldali kifejezés pozitív, a tehetetlenségi momentum gyorsulása szintén pozitív lesz. A kiterjedési időt is egyszerű megjósolni τ. Ha a teljes tömeget, M egy R átmérő korlátozza, akkor a tehetetlenségi momentum nagyjából MR2, és a baloldal MR22. A jobboldali kifejezések összeadódnak közel pR3-é, ahol p a nagyobb plazma nyomás vagy mágneses nyomás. E kettő kifejezést egyenlővé téve, és megoldva τ-re, kapjuk:

\tau\,\sim R/c_s,

ahol cs az ion-akusztikus hullám (vagy Alfvén-hullám, ha a mágneses nyomás magasabb,mint a plazma nyomás) sebessége. Így a plazmoid várható élettartama az akusztikus vagy Alfvén-hullám átmeneti ideje lesz.

Asztrofizika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A viriáltételt gyakran alkalmazzák az asztrofizikában, különösen a gravitációs helyzeti energia, és a kinetikus-, vagy termikus energia összefüggésében. Egy általános viriális összefüggés: \frac{3}{5} \frac{GM}{R} = \frac{3}{2} \frac{k_B T}{m_p} = \frac{1}{2} v^2 , ahol M, a tömeg, R,az átmérő v, a sebesség, és T, a hőmérséklet A konstansok: Gravitációs állandó: G, Boltzmann-állandó: k_B, Proton tömege: m_p.

Galaxisok és kozmológia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az asztronómiában, a galaxisok méretét és tömegét gyakran a „viriális átmérő”, és a „viriális tömeg” kifejezéseivel határozzák meg. A galaxisok méreteit igen nehéz meghatározni. A viriáltétel gyakran kényelmes módszert ad ezen mennyiségek maghatározására. A galaxisok dinamikájába, a tömeg meghatározása gyakran a gázok és csillagok forgási sebességével történik, feltételezve a kepleri pályákat. A viriáltételt alkalmazva felhasználható a sebesség diszperzió, \sigma. Ha vesszük a részecskénti kinetikus energiát, T = (1/2) v2 ~ (3/2) M \sigma2, és a potenciális energiát: U ~ (3/5)(GM/R), irhatjuk:  \frac{GM}{R} \approx \sigma^2 . Itt az R az átmérő, M , az átmérőn belüli tömeg. A viriális tömeget, és átmérőt általában arra az átmérőre határozzák meg, ahol a sebesség diszperzió maximum:  \frac{GM_\text{vir}}{R_\text{vir}} \approx \sigma_\text{max}^2 . Ezek az összefüggések nagyságrendi információt adnak. Egy alternatív meghatározás: Mivel az átmérőt igen nehéz megfigyelni, gyakran közelítik úgy, hogy a sűrűség nagyobb egy specifikus tényezővel, mint a kritikus sűrűség, \rho_\text{crit}=\frac{3H^2}{8\pi G}, ahol a math>H</math> a Hubble-paraméter, és a G a gravitációs állandó. Egy általánosan használt tényező a 200. Így a viriális tömeg az átmérőhöz képest: M_\text{vir} \approx M_{200} = (4/3)\pi r_{200}^3 \cdot 200 \rho_\text{crit} .

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Collins, G. W: The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. (hely nélkül): Pachart Press. 1978.  

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Clausius, RJE (1870.). „On a Mechanical Theorem Applicable to Heat”. Philosophical Magazine, Ser. 4 40, 122–127. o.  
  2. Lord Rayleigh (1903.). „Unknown”.  
  3. Poincaré, H. Lectures on Cosmological Theories. Paris: Hermann 
  4. Ledoux, P. (1945.). „On the Radial Pulsation of Gaseous Stars”. The Astrophysical Journal 102, 143–153. o. DOI:10.1086/144747. Hozzáférés ideje: 2012. március 24.  
  5. Parker, E.N. (1954.). „Tensor Virial Equations” (PDF). Physical Review 96 (6), 1686–1689. o. DOI:10.1103/PhysRev.96.1686. Hozzáférés ideje: 2012. március 24.  
  6. Chandrasekhar, S, Lebovitz NR (1962.). „The Potentials and the Superpotentials of Homogeneous Ellipsoids” (PDF). Ap. J. 136, 1037–1047. o. DOI:10.1086/147456. Hozzáférés ideje: 2012. március 24.  
  7. Chandrasekhar, S, Fermi E (1953.). „Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field” (PDF). Ap. J. 118, 116. o. DOI:10.1086/145732. Hozzáférés ideje: 2012. március 24.  
  8. Pollard, H. (1964.). „A sharp form of the virial theorem” (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. LXX (5), 703–705. o. DOI:10.1090/S0002-9904-1964-11175-7. Hozzáférés ideje: 2012. március 24.  
  9. Pollard, Harry. Mathematical Introduction to Celestial Mechanics. Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, Inc. (1966) 
  10. (1996. July) „A high-temperature approximation for the path-integral quantum Monte Carlo method” (PDF). Journal of Physics A: Mathematical and General 29 (13), 3471–3494. o. DOI:10.1088/0305-4470/29/13/018. Hozzáférés ideje: 2012. március 24.  
  11. Schmidt, George. Physics of High Temperature Plasmas, Second, Academic Press, 72. o (1979) 

Ez a szócikk részben vagy egészben a Virial theorem című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.