Szerkesztő:Vitorla/piszkozat

Körmozgás

Körmozgásról akkor beszélünk, ha egy elhanyagolható nagyságú test (tömegpont) vagy egy kiterjedt test egy pontja körpálya mentén mozog.

Egyenletes körmozgás

A körmozgás egyenletes, ha a körpályán egyenlő időközök alatt — bármilyen kicsinyek is ezek — egyenlő utakat tesz meg, mindig ugyanabban a körülfutási irányban. A t idő alatt megtett s út (ívhosszúság) tehát arányos az idővel:

$s=v\cdot t$,

ahol a v állandó a sebesség nagyságát jelenti. A v sebességvektor iránya a pálya érintőjének iránya, amely pontról pontra változik, és így a mozgás gyorsuló mozgás. A gyorsulás definíciója szerint

$\mathrm {a} (t)={\dot {v}}(t)\,={\frac {\mathrm {d} \mathrm {v} (t)}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathrm {\Delta v} }{\mathrm {\Delta t} }}\sim \lim _{\Delta \varphi \rightarrow 0}{\frac {\mathrm {\Delta v} }{\mathrm {\Delta \varphi } }}=\lim _{\Delta \varphi \rightarrow 0}{\frac {\mathrm {v_{2}-v_{1}} }{\mathrm {\Delta \varphi } }}$.

vagyis a gyorsulásvektor iránya megegyezik a $\mathrm {v_{2}-v_{1}}$ vektoréval, azaz a körmozgás középpontja felé mutat.

Ez az állandó nagyságú, de folytonosan változó irányú gyorsulás az ún. centripetális gyorsulás (más néven normális vagy radiális gyorsulás).

Nem egyenletes körmozgás

A változó sebességű körmozgásnál a centripetális mellett még az érintőirányú gyorsulás is jelentkezik.

A körmozgás jellemzői

A körmozgást legegyszerűbb polárkoordináta-rendszerben vizsgálni. A vizsgált pont mozgását - állandó r mellett - a $\varphi =\varphi (t)$egyenlettel írhatjuk fel. A körmozgást általában a szögsebességgel (jele $\omega$) szokták jellemezni. Ez megadja a helyvektor és a kezdeti helyvektor által bezárt szög ($\phi$) változását:

$\omega ={\frac {d\varphi }{dt}}$

A test érintőirányú (tangenciális) sebességét (kerületi sebességét) a következőképpen számíthatjuk ki:

$v_{t}={\frac {ds}{dt}}=r\cdot {\frac {d\varphi }{dt}}=r\cdot \omega$,

ahol az r a kör sugarát jelöli és $s=r\cdot \varphi$ a körmozgást végző test útfüggvénye.

Kapcsolódó mennyiség a szöggyorsulás (jele $\mathbf {\beta }$), a szögsebesség ($\omega$) időbeni változását fejezi ki:

$\beta ={\frac {d\omega }{dt}}$

A test érintőirányú (tangenciális) gyorsulását kiszámíthatjuk a szöggyorsulásból:

$a_{t}=\beta \cdot r$

A szöggyorsulás a körmozgásban több szempontból is analóg a lineáris gyorsulással. A $\beta$ – idő grafikonból a görbe alatti terület megadja a szögsebességet, $\omega$ – idő grafikonban a görbe tetszőleges pontjában húzott érintő meredeksége adja a pillanatnyi szöggyorsulást.

Periódusidő (jele T) Jelentése: egy kör megtételéhez szükséges idő.

Frekvencia (jele: f), fordulatszám (jele: n) Jelentésük: az időegység alatt megtett körök száma; az egy kör megtételéhez szükséges idő (T) reciprok értéke (1/T), mértékegységeik: 1/s = hertz (röviden: Hz; Heinrich Hertz nevéből) vagy 1/perc.

Az $\omega$ szögsebességet körfrekvenciának is szokták nevezni, mert az f frekvenciával a következő kapcsolatban áll: :$\omega =2\pi \cdot f$. Mértékegysége: radián/s

A körmozgás vektorai

A szögsebesség általánosabban, vektorként is értelmezhető: az OO' tengely körül $\omega$ szögsebességgel körmozgást végző tömegpontnál (vagy forgó merev testnél) az $\omega$ nagyságú ${\vec {\omega }}$ szögsebesség-vektort (forgás-vektort) a tengelyen a tetszőleges O tengelypontból kiindulva mérjük fel olyan irányítással, hogy ${\vec {\omega }}$ iránya a körmozgással (a forgással) jobbmenetű csavart képezzen (lásd az ábrát). ${\vec {\omega }}$ bevezetésével a körbe mozgó tömegpont (a forgó merev test) tetszőleges (az ${\vec {r}}={\overline {OP}}$ helyvektorral jellemzett) P pontjának ${\vec {v}}$ sebessége nemcsak nagyság, hanem irány szerint is egyszerűen megadható:

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$;

e vektorszorzat iránya ugyanis ${\vec {v}}$ iránya, nagysága pedig

$\left|{\vec {v}}\right|=\omega \cdot r\cdot \sin \vartheta =\omega \cdot l$.

A keringő tömegpontra vagy forgó mozgást végző testre hat egy, a forgás fenntartásához szükséges erő. Ez a kijelentés arra az erőfelfogásra alapozódik, amely az erőt nem a kölcsönhatás jellemzőjének tekinti, hanem a létrejött mozgáshoz kapcsolja.
Ezt az erőt centripetális erőnek nevezzük (a latin centrum = ‘közép’ + peto = ‘siet, tart valahová’ szavakból). A centripetális erő a mozgáshoz kötött erő, bár ténylegesen a testek közötti kölcsönhatásokat adó erők eredője, mivel a test mozgását az határozza meg.

A legegyszerűbb eset a tömegpont egyenletes körmozgása, ennek a fenntartásához szükséges centripetális erő mindig a kör középpontja felé irányuló, állandó nagyságú erő:

$F_{cp}=m\cdot {\frac {v^{2}}{l}}=m\cdot \omega ^{2}\cdot l=m\cdot (2\pi /T)^{2}\cdot l$,

ahol m a mozgó pont tömege, v a kerületi sebessége, l a körpálya sugara, ω a mozgás szögsebessége (körfrekvenciája), T a keringési idő.
Általánosabb megfogalmazásban, vektoriálisan, a centripetális erő nagysága a tömeg és a centripetális gyorsulás szorzata, iránya merőleges a pályagörbére és annak konkáv oldala felé mutat. Vektori alakja:

${\vec {F_{cp}}}=-m\cdot {\vec {\omega }}\times {\vec {l}}$,

ahol ${\vec {l}}$ a görbületi középpontból a tömegponthoz húzott rádiuszvektor (a negatív előjel arra utal, hogy a centripetális erő iránya ${\vec {l}}$-lel ellentétesen, a pályagörbe görbületi középpontja felé mutat). A kölcsönhatás törvénye (Newton-törvények) szerint a vele együtt fellépő ellenereje a sugár mentén kifelé mutató $m\cdot {\vec {\omega }}\times {\vec {l}}$ erő, amely azonban nem a mozgást végző testre, hanem arra a testre hat, amely rá a centripetális erőt gyakorolja (a körmozgásra kényszeríti). (Téves felfogás ezt az ellenerőt a centrifugális erővel azonosítani!)

Centripetális erőt többféle erőtípus is létrehozhat, ilyen a gravitációs erő (pl. a Holdat Föld körüli pályáján tartó centripetális erő a Földnek a Holdra ható vonzóereje).
Centripetális erő a testre ható szabad- és kényszererők eredője is, pl. a fonalingánál a ${\vec {G}}=m\cdot {\vec {g}}$ súlyerő ( ${\vec {g}}$ a nehézségi gyorsulás) mint szabaderő és a fonalirányú ${\vec {K}}$ kényszererő (nagysága mg/cosϕ), amely ellentétesen egyenlő a súlyerőnek a fonalat feszítő G’ vektori összetevőjével.

Centripetális erő A kúpinga mozgását meghatározó centripetális erő ( Fcp) a G súlyerő és a K kényszererő eredője Ekkor a ~ Fcp = mω²r = mω²l·sin ϕ = mg·tg ϕ, ahol l a fonal hossza, ϕ a kúp nyílásszöge. – Ha a pálya kör alakú, nevezik radiális erőnek, míg tetszőleges alakú görbe esetén normális v. normálerőnek is.

Forrás

• centripetális erő (szócikk), Magyar nagylexikon. Budapest: Magyar Nagylexikon Kiadó, 5. kötet, 234-235. o. (1997) 
• körmozgás (szócikk), Természettudományi Lexikon. Budapest: Akadémiai Kiadó, 3. kötet, 875-876. o. (1966) 
• szögsebesség (szócikk), Természettudományi Lexikon. Budapest: Akadémiai Kiadó, 6. kötet, 212. o. (1968) 

Kategória:Klasszikus mechanika