Centripetális gyorsulás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Centripetális gyorsulásnak nevezzük a fizikában az egyenletes körmozgás gyorsulását, amely a sebesség irányváltoztatásaiból adódik. Általánosabban, így nevezzük azt a gyorsulást, amivel egy testnek gyorsulnia kell ahhoz, hogy egy görbe mentén mozogjon. Nevét onnan kapta, hogy egyenletes körmozgás esetén a gyorsulás merőleges az érintőirányú sebességre, vagyis a kör középpontja (centruma) felé mutat, más szóval sugárirányú (centripetális, centri = középpont, peta = tart valami felé). Iránya általában is merőleges a pálya adott pontbeli érintőjére, és az adott pontbeli simulókör középpontja felé mutat.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Egy kocsi bekanyarodása azért lehetséges, mert hat rá egy erő, ami a kanyar középpontja felé mutat. Ez az erő a gumiabroncs és az aszfalt közötti súrlódás révén keletkezik. Ha ez az erő hiányzik, akkor a kocsi tehetetlensége miatt egyenes vonalban mozog tovább, és kicsúszik a kanyarból.
  • Egy homogén mágneses térben elektronok mozognak a térerő irányára merőlegesen. Ekkor a Lorentz-erő a mozgás és a mágneses tér irányára merőlegesen eltéríti, és körpályára kényszeríti őket. Ebben az esetben a Lorentz-erő centripetális erőként működik.
  • A Föld Nap körül keringését a gravitációs erő biztosítja. A Föld pályája kör alakúnak tekinthető; ekkor a centripetális erő megegyezik a gravitációs erővel.
Pontosabban: a Föld nem kör, hanem ellipszis mentén mozog, aminek az egyik fókuszpontjában helyezkedik el a Nap. Ekkor a gravitációs erő iránya egy érintő irányú komponensben eltér a helyi centripetális erőtől. Ezért a bolygó gyorsabban mozog napközelben, mint naptávolban.

Képletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A centripetális erő a helyi simulókör középpontja felé mutat. Legyen a mozgó test tömege m, sebességének nagysága v, és a helyi simulókör sugara r. Ekkor a centripetális erő nagysága:

F_C=\frac{m \cdot v^2}{r}

Az ω nagyságú szögsebességgel:

\,F_C=m \omega^2r

Jelölje a test távolságát a simulókör középpontjától \vec{r}, és \vec{\omega} a test szögsebességét! Ekkor a centripetális erő felírható vektoriális szorzatként:

\vec{F_C}= m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})

Leosztva a test m tömegével:

a_C=\frac{v^2}{r}

Az ω nagyságú szögsebességgel:

a_C=\omega^2 \cdot r

Vektoriális szorzatként:

\vec{a_C} = \vec{\omega} \times ( \vec{\omega} \times \vec{r})

vagy

\vec{a_C} = \vec{\omega} ( \vec{\omega} \cdot \vec{r}  )   - |\vec{\omega} |^2  \vec{r}

Az általános esetben mindig csak a pillanatnyi erő, illetve gyorsulás számítható ezekkel a képletekkel. Ha a test körpályán mozog, akkor az erő, és a gyorsulás is csak az irányát változtatja, nagysága állandó.

Az egyenletes körmozgás során fellépő gyorsulás vizsgálata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Iránya[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Centripetális gyorsulás

A gyorsulás meghatározásához jelöljük a t időpillanatban a P-pontban lévő tömegpont sebességét v-vel (PA-vektor). Δt idő múlva a tömegpont a körpályán P-ből P'-be jut, miközben Δs = r Δφ utat tesz meg. A P'-pontban a tömegpont sebességét jelöljük v'-vel (PB-vektor). Mivel egyenletes körmozgásról beszélünk, a sebesség nagysága mindkét esetben v. A v' vektort eltolhatjuk a P-pontba és megszerkeszthetjük a Δv = v' - v vektort (AD vektor). Mivel a PA szakasz merőleges az OP szakaszra és a PD szakasz pedig merőleges az OP' szakaszra, ezért a PAD egyenlő szárú háromszög P-nél lévő szöge a Δφ szöggel egyenlő és így az A-nál lévő szög (180 - Δφ)/2. Ha tehát Δt és ezzel együtt Δφ a zérushoz tart, akkor az így adódó \mathbf{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \Delta \mathbf{v}} {\Delta t} gyorsulásvektor merőleges lesz a P-beli érintőre, vagyis a kör középpontja felé irányul.

Nagysága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A PAD háromszög AD oldala (Δv vektor hossza) igen kicsiny Δφ esetében:

| \Delta v| = v \cdot \Delta \phi = v \cdot { \Delta s \over r } , tehát  {| \Delta v | \over \Delta t } = 
{ v \over r } \cdot { \Delta s \over \Delta t }

ahol r a körpálya sugara.

Mivel a \frac{\Delta s}{\Delta t} hányados \Delta t \to 0-ra \frac{ds}{dt}=v felé tart, a gyorsulás nagysága: a = { v^2 \over r }

Összefoglalva, képletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azt kaptuk tehát, hogy az egyenletes körmozgásnál a gyorsulás a kör középpontja felé irányul és nagysága megegyezik a sebesség négyzetének és a tömegpont mozgása által leírt kör ( pálya ) sugarának a hányadosával, vagy más módon számolva a szögsebesség négyzetének és a sugárnak a szorzatával:

a_{cp} = { v^2 \over r } = \omega^2 \cdot r

Ez az állandó nagyságú, de folytonosan változó irányú gyorsulás az ún. centripetális gyorsulás (más néven normális vagy radiális gyorsulás).

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Isaac Newton: Philosophiae naturalis Principia mathematica. Cambridge, London 1726, új kiadás: Alexandre Koyré, I. Bernard Cohen. London 1971.

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zentripetalkraft című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.