Poligamma-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az m-ed rendű poligamma-függvény a gamma-függvény logaritmusának (m+1)-ik deriváltja: [1]

\psi^{(m)}(z) = \frac{d^m}{dz^m} \psi(z) = \frac{d^{m+1}}{dz^{m+1}} \ln\Gamma(z).

Itt:

\psi(z) = \psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

a digamma-függvény, és \Gamma(z) a gamma-függvény. A \psi^{(1)}(z) függvényt gyakran trigamma-függvénynek is hívják.

A gamma-függvény logaritmusa, és néhány első poligamma függvény a komplex síkon
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg

\ln\Gamma(z)

\psi^{(0)}(z)

\psi^{(1)}(z)

\psi^{(2)}(z)

\psi^{(3)}(z)

\psi^{(4)}(z)

Képlet integrállal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1}\int_0^\infty
\frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} dt

mely érvényes Re z >0 és m > 0 esetén. m = 0 esetén lásd digamma-függvény.

Rekurzív képlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}.

Multiplikációs elmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A multiplikációs elmélet szerint

k^{m} \psi^{(m-1)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1}
\psi^{(m-1)}\left(z+\frac{n}{k}\right)

m>1 esetén, és m=0, ez a digamma-függvény:

k (\psi(kz)-\log(k)) = \sum_{n=0}^{k-1}
\psi\left(z+\frac{n}{k}\right).

Sorozattal kifejezve[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{(z+k)^{m+1}}

mely m > 0, és bármely z komplex számra igaz, ha az nem negatív egész. Ez a kifejezés még kompaktabb módon írható le a Hurwitz zéta-függvénnyel:

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z).

Még egy sorozat létezik a poligamma-függvényre, mely Oscar Schlömilch (1823 – 1901) német matematikus munkája 1 / \Gamma(z) = z \; \mbox{e}^{\gamma z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) \; \mbox{e}^{-z/n}. Ezután, a gamma-függvény így is definiálható:

\Gamma(z) = \frac{\mbox{e}^{-\gamma z}}{z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \; \mbox{e}^{z/n}

Taylor sor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Taylor sor z=1 esetén

\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!},

mely konvergál |z| < 1 felé. Itt ζ a Riemann zéta-függvény. Ezek a sorok felhasználhatók számos racionális zéta sor deriválására.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. (hely nélkül): Dover Publications, New York. 1964. ISBN 9780486612720  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]