Trigamma-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A trigamma-függvény, ψ1(z), a második poligamma-függvény. Definíciója:[1]

\psi_1(z) = \frac{d^2}{dz^2} \ln\Gamma(z).

Ebből a definícióból következik:

\psi_1(z) = \frac{d}{dz} \psi(z)

Ahol ψ(z) a digamma-függvény. A trigamma-függvény definíálható sorozat összegeként is:

 \psi_1(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{(z + n)^2},

melynek a Hurwitz zéta-függvény egy speciális esete:  \psi_1(z) = \zeta(2,z). \frac{}{}

Megjegyzés: a két utóbbi formula csak akkor érvényes, ha 1 - z nem természetes szám

Trigamma függvény ψ1(z), , a komplex síkon, erősebb színek jelzik a zéróhoz közeli értékeket

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Dupla integrált forma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 \psi_1(z) = \int_0^1\int_0^y\frac{x^{z-1}y}{1 - x}\,dx\,dy

Kapcsolat a geometriai sorral[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 \psi_1(z) = -\int_0^1\frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,dx

Bernoulli-számokkal kifejezve[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 \psi_1(1+z) = \frac{1}{z} - \frac{1}{2z^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}} .

Rekurzív sorozat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A trigamma-függvény kifejezhető rekurzív sorozattal:

 \psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2}

Reflexiós formulával[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 \psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \pi^2\csc^2(\pi z). \,

Speciális értékek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 \psi_1\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8K
 \psi_1\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{2}
 \psi_1(1) = \frac{\pi^2}{6}

ahol K, a Catalan-állandó

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. (hely nélkül): Dover Publications, New York. 1964. ISBN 0486612724  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]