Digamma-függvény

Digamma-függvény a komplex síkon: a színek kódolják az s értékét, erősebb színek a zéró közeli értékeket mutatják

A ψ(x) jelű digamma-függvény a gamma-függvény logaritmikus deriváltja.

$\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.$

Ez az első poligamma-függvény.

Kapcsolat a harmonikus számokhoz

A digamma-függvény (jelölései: ψ₀(x), ψ⁰(x), vagy $\digamma$, a digamma (Ϝ ϝ) a preklasszikus görög ábécé hatodik betűje után) következőképpen kapcsolódik a harmonikus számokhoz:

$\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\!$

ahol H_n, az n^th harmonikus szám, és γ az Euler-Mascheroni konstans. Fél-integer értékekre:

$\psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + \sum_{k=1}^n \frac{2}{2k-1}$

Intergrállal kifejezve

$\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\,dt$

ez a kifejezés akkor érvényes, ha $x$ valós része pozitív.

Kifejezhetjük:

$\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx$

mely megfelel az Euler-integrálnak harmonikus számokra.

Sorozattal kifejezve

A digamma kiszámolható a komplex síkon a negatív integereken kivül a következő képlettel:

$\psi(z+1)= -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} \qquad z \neq -1, -2, -3, \ldots$

vagy

$\psi(z)=-\gamma+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z-1}{(n+1)(n+z)}=-\gamma+\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+z}\right)\qquad z\neq0,-1,-2,-3,\ldots$

Ez felhasználható racionális függvények végtelen szummájának számítására, például:

$\sum_{n=0}^{\infty}u_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{p(n)}{q(n)}$,

ahol p(n) és q(n) n polinomjai.

Magasabb rendű poligamma-függvény sor kiterjesztésével, egy általánosított képlet kapható:

$\sum_{n=0}^{\infty}u_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{m}\frac{a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}=\sum_{k=1}^{m}\frac{(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}a_{k}\psi^{(r_{k}-1)}(b_{k}),$

feltéve, ha a sorozat baloldala konvergens.

Taylor sorok

A digamának van egy racionális zéta sorozata, mely a Taylor-sorból ered z=1-nél. Ez:

$\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k$,

mely konvergál |z|<1 felé. Itt a $\zeta(n)$ a Riemann-féle zéta-függvény.

Newton sor

A digamma Newton-sora az Euler integrál képletből adódik:

$\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k}$

ahol $\textstyle{s \choose k}$ a binomiális együttható.

Reflexiós képlet

A digamma-függvény reflexiós képlete hasonló a gamma-függvényével.

$\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }$

Gauss-összeg

A digamma Gauss-összege:

$\frac{-1}{\pi k} \sum_{n=1}^k \sin \left( \frac{2\pi nm}{k}\right) \psi \left(\frac{n}{k}\right) = \zeta\left(0,\frac{m}{k}\right) = -B_1 \left(\frac{m}{k}\right) = \frac{1}{2} - \frac{m}{k}$

$0<m<k$ integerekre. Itt, a ζ(s,q) a Hirwitz zéta függvény, és a $B_n(x)$ a bernoulli polinom.

Gauss digamma elmélete

Gauss digamma elmélete , szerint m és k ( m < k), pozitív integerekre, a digamma függvény elemi függvényekkel is kifejezhető:

$\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)$

Közelítések

J.-M. Bernardo AS 103 algoritmusa szerint a digamma-függvény x valós számokra közelíthető:

$\psi(x) = \ln(x) - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \frac{1}{120x^4} - \frac{1}{252x^6} + O\left(\frac{1}{x^8}\right)$

Hasonló közelítés magasabb tagokra:

$\begin{align} \psi(x) &= \ln(x) - \frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \frac{1}{120x^4} - \frac{1}{252x^6} + \frac{1}{240x^8} - \frac{5}{660x^{10}} \\ &\quad + \frac{691}{32760x^{12}} - \frac{7}{84x^{14}} + \frac{3617}{8160x^{16}} - \frac{43867}{14364x^{18}} + O\left(\frac{1}{x^{20}}\right) \end{align}$

Speciális értékek

Gauss digamma elmélete eredményeképpen, a digamma-függvény zárt formájú értékei racionális számokra:

$\psi(1) = -\gamma\,\!$

$\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma$

Irodalom

• Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds: "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.. New York: Dover. 1972. 258-259. o.
• Bernardo, José M: "Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation".. Applied Statistics 25. 1976. 315-317. o.

Kapcsolódó szócikkek

• Poligamma-függvény
• Trigamma-függvény
• Csebisev-polinomok
• Gamma-függvény
• Derivált
• Digamma
• Riemann-féle zéta-függvény
• Newton-sor