Lebesgue-mérték

A mértékelméletben a Lebesgue-mérték, amit a francia Henri Lebesgue után neveztek el, a megszokott módszer, hogy mértéket rendeljünk egy n dimenziós euklideszi tér részhalmazaihoz.

Ha n = 1, 2 vagy 3, akkor a fogalom rendre megegyezik a hosszúság, terület, térfogat fogalmával. Általánosságban n dimenziós térfogatnak, illetve n-térfogatnak is hívják vagy csak térfogatnak. A fogalmat a valós analízis számos területén használják, leginkább a Lebesgue-integrál definíciójában. Azokat a halmazokat, amelyekhez ilyen módon szám rendelhető, Lebesgue-mérhetőnek hívjuk; egy ilyen A halmaz mértékét λ(A)-val jelöljük.

A mérték Henri Lebesgue-től származik 1901-ből. Egy évvel később pedig a Lebesgue-integrál fogalmát írta meg. Mindkét témát 1902-ben a disszertációjában publikálta.

A mértéket néha dx-szel is jelölik.

Definíció

Adott $E\subset \mathbb {R}$ halmaz, amelyben bármely $I=[a,b]$ (nyitott, zárt vagy akár félig-nyitott) intervallum hosszúsága $l(I)=b-a$. Ekkor az E halmaz külső Lebesgue-mértéke, vagyis a $\lambda ^{*}(E)$ definíciója:

$\lambda ^{*}(E)={\text{inf}}\left\{\sum _{k=1}^{\infty }l(I_{k}):{\text{ahol }}{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ nyílt intervallumok sorozata, úgy hogy }}E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}$.

Ha egy $E$ halmazra igaz, hogy bármely $A\subset \mathbb {R}$-re

$\lambda ^{*}\left(A\right)=\lambda ^{*}\left(A\cap E\right)+\lambda ^{*}\left(A\cap {\overline {E}}\right)$,

akkor az $E$ halmaz Lebesgue-mértéke megegyezik a külső Lebesgue-mértékével, vagyis: $\lambda (E)=\lambda ^{*}(E)$. Amelyik halmazra nem teljesül a feltétel, annak nincs Lebesgue-mértéke.

Példák

• A valós számok körében bármely [a, b] zárt intervallum Lebesgue-mérhető, és a mértéke b-a. A nyílt (a, b) intervallum ugyanakkora mértékű, mivel csupán a két végpontban különbözik, melyek mértéke nulla.
• Bármely [a, b] és [c, d] Descartes-szorzata Lebesgue-mérhető és a mértéke (b-a)(d-c), vagyis a hozzá tartozó téglalap területe.
• A racionális számok halmazának Lebesgue-mértéke 0, annak ellenére, hogy a halmaz sűrű.
• A Cantor-halmaz egy példa olyan nem megszámlálható halmazra, amelynek Lebesgue-mértéke nulla.

Tulajdonságok

Eltolási invariancia: A Lebesgue-mértéke $A$-nak és $A+t$-nek megegyezik.

A Lebesgue-mérték a Rⁿ térben a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. Ha A Descartes-szorzata az I₁ × I₂ × ... × I_n intervallumoknak, akkor A Lebesgue-mérhető és $\lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.$ Itt |I| jelöli az I intervallum hosszát.
2. Ha A diszjunkt uniója megszámlálhatóan sok diszjunkt Lebesgue-mérhető halmaznak, akkor A is Lebesgue-mérhető és λ(A) egyenlő a halmazok mértékének összegével.
3. Ha A Lebesgue-mérhető, akkor a komplementere is az.
4. λ(A) ≥ 0 bármely A Lebesgue-mérhető halmazra.
5. Ha A és B Lebesgue-mérhetőek és A részhalmaza B-nek, akkor λ(A) ≤ λ(B). (A 2-es, 3-as és a 4-es tulajdonság következményeként.)
6. Megszámlálhatóan sok Lebesgue-mérhető halmaz uniója és metszete szintén Lebesgue-mérhető. (Nem a 2. és a 3. következménye, mert a halmazok osztálya, amely zárt a komplementer képzésre és diszjunkt unióra, nem feltétlenül zárt megszámlálhatóan sok elem uniójára, pl.: $\{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}$.)
7. Ha A nyílt vagy zárt részhalmaza Rⁿ-nek (vagy akár Borel-halmaz, lásd metrikus tér), akkor A Lebesgue-mérhető.
8. Ha A Lebesgue-mérhető halmaz, akkor "nagyjából zárt" és "nagyjából zárt", a Lebesgue-mérték szerint. (lásd a Lebesgue-mérték regularitási tételét)
9. A Lebesgue-mérték Radon-mérték.
10. Bármely nemüres nyílt halmaz Lebesgue-mértéke szigorúan pozitív.
11. Ha A Lebesgue-mérhető halmaz és λ(A) = 0 (null halmaz), akkor bármely részhalmaza A-nak szintén nullmértékű.
12. Ha A Lebesgue-mérhető és x eleme Rⁿ-nek, akkor A eltolása x-szxel, vagyis A + x = {a + x : a ∈ A} szintén Lebesgue-mérhető és ugyanaz a mértéke, mint A-nak.
13. Ha A Lebesgue-mérhető és $\delta >0$, akkor $A$ nyújtása $\delta$-val egyenlő $\delta A=\{\delta x:x\in A\}$, ami szintén Lebesgue-mérhető és mértéke: $\delta ^{n}\lambda \,(A).$ (lásd Galilei-féle négyzetes köbös törvény)
14. Általánosabban, ha T egy lineáris transzformáció és A egy mérhető részhalmaza Rⁿ-nak, akkor T(A) szintén Lebesgue-mérhető, és a mértéke: $|\det(T)|\,\lambda \,(A)$.

A fentieket velősen összegezhetjük a következőképpen:

A Lebesgue-mérhető halmazok σ-algebrát alkotnak, amely tartalmazza bármely intervallumok szorzatát és λ egy egyedi teljes transzláció-invariáns, mértéke ennek a σ-algebrának, úgy hogy: $\lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.$ (Vagyis, egységnyi hosszúságú n dimenziós "kocka" mértéke/térfogata/területe/hosszúsága 1)

Nullmértékű halmazok

Rⁿ egy részhalmaza nullmértékű ha bármely ε > 0- hoz, létezik megszámlálhatóan sok n intervallum amelyek szorzata lefedi a kérdéses halmazt és a mértéke ezen n intervallum szorzata által alkotott Borel-halmaznak maximum ε. Bármely megszámlálható számosságú halmaz nullmértékű.

Ha az Rⁿ egy részhalmazának Hausdorff-dimenziója kisebb, mint n, akkor a halmaz nullmértékű az n dimenziós Lebesgue-mértékre nézve.

Annak megmutatására, hogy egy adott A halmaz Lebesgue-mérhető gyakran alkalmazzák azt a trükköt, hogy egy olyan "szebb" B-t keresnek ami csak egy nullmértékű halmazban különbözik A-tól. (a "különbözik" itt most a szimmetrikus különbségnek felel meg).

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Lebesgue measure című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.