Sűrű részhalmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A topológiában és a matematika kapcsolódó részterületeiben egy topologikus tér részhalmaza sűrű egy topologikus térben, ha a topologikus tér minden pontjára teljesül, hogy eleme a részhalmaznak, vagy annak torlódási pontja.[1] Azaz a topologikus tér minden egyes pontja benne van a részhalmazban, vagy tetszőlegesen közel van a részhalmaz egy pontjához. Például a racionális számok halmaza sűrű a valós számok halmazában, mert minden valós szám vagy racionális, vagy tetszőlegesen megközelíthető racionális számokkal.

Formálisan, az X topologikus tér A részhalmaza sűrű X-ben, ha X összes pontjának minden környezete tartalmaz pontot A-ból. Ekvivalensen, A sűrű X-ben, ha X-nek nincs más (relatív) zárt részhalmaza, ami tartalmazza A-t. Egyszerűbben, A lezártja X, vagy A lezártjának komplementerének a belseje üres.

A topológián kívül megjelenik az analízisben, a funkcionálanalízisben és a numerikus módszerekben, például a folytonos függvények approximációjában.

Egy topologikus tér sűrűsége megegyezik legkisebb sűrű részhalmazának számosságával.

Speciális esetei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Rendezett halmazokban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen (M, <) szigorúan teljesen rendezett halmaz, és S részhalmaza M-nek. S sűrű M-ben, ha minden M-beli x-hez és y-hoz van S-beli z, hogy x < z < y. Ez a megfogalmazás a rendezési topológiából adódik.

Metrikus terekben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Metrikus terekben a sűrű részhalmaz ekképpen is definiálható: Legyen X metrikus tér. Ekkor A \overline{A} lezártja előáll A és A határpontjainak uniójaként:

\overline{A} = A \cup \{ \lim_n a_n : \forall n \ge 0, \ a_n \in A \}.

A sűrű X-ben, ha:

 \overline{A} = X.

Jegyezzük meg, hogy  A \subseteq \{ \lim_n a_n : \forall n \ge 0, \ a_n \in A \}. Ha \{U_n\} az X metrikus tér sűrű nyílt halmazainak sorozata, akkor \cap^{\infty}_{n=1} U_n is sűrű X-ben. Ez a Baire-kategóriatétel egy ekvivalens alakja.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A leggyakrabban emlegetett példa a racionális számok halmaza a valós számok körében. Egy másik példa az irracionális számok halmaza szintén a szokásos topológiában. Ez mutatja, hogy egy topologikus térnek több diszjunkt sűrű részhalmaza lehet. A természetes számok és a Cantor-halmaz a valós számok sehol sem sűrű részhalmazai. A Cantor-halmaz a [0,1] intervallumban is sehol sem sűrű.

A Weierstrass-féle approximációs tétel miatt egy adott zárt intervallumon, [a, b]-n értelmezett komplex értékű folytonos függvények mindegyike tetszőlegesen pontosan egyenletesen approximálható polinommal. Más szavakkal, az [a, b]-n értelmezett polinomok sűrűek az [a, b]-n értelmezett komplex értékű folytonos függvények terében a szuprémum normával.

Minden metrikus tér sűrű a teljessé tételében.

A tesztfüggvények halmaza sűrű a Lebesgue-integrálható függvények terében.

Normált tér részhalmaza sűrű a lezártjában.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Minden topologikus tér sűrű önmagában. A diszkrét topológiájú tereknek nincs is más sűrű részhalmazuk. A triviális topológiájú terekben ellenben minden nem üres részhalmaz sűrű. Megfordítva, nincs más topológia, amiben minden nem üres részhalmaz sűrű.

A sűrűség tranzitív reláció az altértopológiában. Ha A, B, és C az X topologikus tér részhalmazai, és ABC úgy, hogy A sűrű B-ben, és B sűrű C-ben, akkor A is sűrű C-ben az altértopológiával.

Sűrű részhalmaz szürjektív folytonos képe ismét sűrű. A sűrűség topológiai invariáns, azaz minden homeomorfia megőrzi.

Ha egy topologikus tér egy sűrű részhalmaza összefüggő, akkor a topologikus tér is összefüggő.

A Hausdorff-térbe képező folytonos függvényeket meghatározza egy sűrű részhalmazon értelmezett leszűkítésük. Más szóval, ha f és g ilyen függvények, és megegyeznek egy X-ben sűrű A részhalmazon, akkor egész X-ben megegyeznek.

Kapcsolódó fogalmak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy X topologikus tér A részhalmazának x pontja torlódási pontja vagy érintkezési pontja, ha x minden környezete tartalmazza A x-től különböző pontját. Ha ez nem teljesül, akkor x izolált pont. Az izolált pontok nélküli halmazokról azt mondjuk, hogy sűrűek önmagukban.

Egy X topologikus tér A részhalmaza sehol sem sűrű, hogyha egy pontjának sincs olyan környezete X-ben, amiben A sűrű. Ekvivalensen, ha lezártjának belseje üres. Egy sehol sem sűrű halmaz komplementerének belseje mindig sűrű. Zárt sehol sem sűrű halmaz komplementere sűrű. Egy adott X topologikus térben az A részhalmaz első kategóriájú, ha előáll megszámlálható sok sehol sem sűrű halmaz uniójaként. A racionális számok halmaza első kategóriájú.

Ha X topologikus tér, akkor kompakt halmazba való beágyazása sűrű részhalmazként X kompaktifikációja.

Egy X és Y topologikus vektorterek közötti lineáris operátor sűrűn definiált, ha értelmezési tartománya sűrű X-ben, és értékkészlete része Y-nak. Lásd folytonos lineáris kiterjesztés.

Az X topologikus tér hiperösszefüggő, ha minden nem üres nyílt részhalmaza sűrű X-ben. Szubmaximális, ha minden sűrű részhalmaza sűrű.

Egy topologikus tér szeparábilis, ha van megszámlálható sűrű részhalmaza.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Steen, L. A. & Seebach, J. A. (1995), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 0-486-68735-X

Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3

  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).
  • Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (Berliner Studienreihe zur Mathematik 15).