Diszjunkt unió

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Matematikában, a diszjunkt unió két dolgot jelenthet:

  • Halmazelméletben, a diszjunkt unió egy unió művelet, ahol a diszjunkt uniót alkotó halmazoknak nincs közös eleme.
  • A valószínűségelméletben (vagy még általánosabban a méréselméletben) rendszerint a párosan előforduló, egymással közös részt nem alkotó entitásokat, halmazokat nevezik diszjunkt uniónak.

Halmazelméleti definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Formálisan legyen {Ai : iI} egy halmazcsalád I indexszel. Ennek a halmazcsaládnak a diszjunkt uniója:


    \bigsqcup_{i\in I}A_i = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) : x \in A_i\}.

A diszjunkt unió elemei (x, i) rendezett párok. Itt az i egy járulékos index, mely azt jelzi, mely Ai származik x-től. Minden egyes Ai kanonikusan beágyazódik a diszjunkt unióba:


    A_i^* = \{(x,i) : x \in A_i\}.

ij-re, az Ai* és Aj* diszjunktak, még akkor is, ha Ai és Aj halmazok nem azok. Extrém esetben, amikor minden egyes Ai egyenlő egy valamilyen fix A halmazzal, minden egyes iI-re, a diszjunkt unió A és I Descartes-szorzata:  \bigsqcup_{i\in I}A_i = A \times I. esetenként ez a jelölés:

 \sum_{i\in I}A_i

egy halmaz-család diszjunkt uniójára, vagy A + B, két halmaz diszjunkt uniójára.

Ez a jelölés emlékeztet arra a tényre, hogy a diszjunkt unió számossága, a család kifejezéseinek számosságának az összege.(Lásd még a halmaz család Descartes-szorzata).

A kategória-elmélet nyelvezetében a diszjunkt unió a halmazok kategóriájának kategória összege. Ezért ez kielégíti a kapcsolódó univerzális tulajdonságot. Ez azt is jelenti, hogy a diszjunkt unió kategória duálisa a Descartes-szorzat konstrukciónak.

Több oknál fogva, egy kiegészítő index partikuláris választása nem lényeges, és egy egyszerűsítő módszerben, az indexelt családot egyszerűen lehet kezelni, mint egy halmaz gyűjteményét.

Ez esetben A_i^* A_i egy másolatának tekinthető, és a \bigcup_{A \in C}{^*} A jelölés használatos.

Valószínűségelméleti definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen C egy páronként diszjunkt halmazok gyűjteménye. Ez azt jelenti, hogy a C-ben minden A≠B halmaz metszete üres, azaz AB = ∅. C ben az összes halmaz uniója, a halmazok diszjunkt uniója:


    \bigsqcup_{A \in C} A \equiv \bigcup_{A \in C} A

és így, a “diszjunkt unió” kifejezés egyszerűen rövidítése a “ halmazok uniójának, melyek páronként diszjunktak”.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Dancs István: Halmazelmélet. (hely nélkül): Aula Kiadó Kft. 2001 ISBN 9639345520  
  • Weisstein, Eric: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. (hely nélkül): CRC Press. 1999  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]