Kronecker-szorzat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Kronecker-szorzat (Leopold Kronecker után) egy fogalom a mátrixszámításban.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha A m\times n-es és B p\times r-es mátrix, akkor a C = A \otimes B Kronecker-szorzat nem más, mint

C = (a_{ij} \cdot B)
=\begin{pmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n} B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{pmatrix}

azaz az A mátrix minden elemét megszorozzuk a B mátrixszal, és ebből képezünk egy új mátrixot, aminek mérete mp\times nr.

Részletesebben:

{\mathbf{A}\otimes\mathbf{B}} = \begin{bmatrix}
   a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
   a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
   a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} 
\end{bmatrix}.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Első példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 
1\cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} & 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\\\\
3\cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} & 4 \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 5 & 6 & 10 & 12 \\ 7 & 8 & 14 & 16 \\ 15 & 18 & 20 & 24 \\ 21 & 24 & 28 & 32 \end{pmatrix}

Második példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]


\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 
1 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 
3 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 
2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\\\
1 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 
0 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 
0 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\\\
1 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 
2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 
2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} 
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 
 0 & 5 &  0 & 15 &  0 & 10 \\
 5 & 0 & 15 &  0 & 10 & 0  \\
 1 & 1 &  3 &  3 &  2 & 2  \\
 0 & 5 &  0 &  0 &  0 & 0  \\
 5 & 0 &  0 &  0 &  0 & 0  \\
 1 & 1 &  0 &  0 &  0 & 0  \\
 0 & 5 &  0 & 10 &  0 & 10 \\
 5 & 0 & 10 &  0 & 10 & 0  \\
 1 & 1 &  2 &  2 &  2 & 2
\end{pmatrix}

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Kronecker-szorzás nem kommutatív, ami azt jelenti, hogy általában

A\otimes B\neq B\otimes A

Azonban mindig vannak P,Q permutációmátrixok, hogy

A\otimes B=P(B\otimes A)Q

Hogyha A és B négyzetes, akkor választók úgy, hogy P=Q^T legyen.

A Kronecker-szorzás bilineáris, vagyis

A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C
(B+C)\otimes A=B\otimes A+C \otimes A
\lambda (A\otimes B)=(\lambda A)\otimes B=A\otimes (\lambda B)

A Kronecker-szorzás asszociatív:

A\otimes(B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C

A transzponáltakra teljesül, hogy:

(A \otimes B)^T = A^T \otimes B^T.

A komplex konjugált mátrixra:

\overline{A \otimes B} = \overline{A} \otimes \overline{B}.

Az adjungált mátrixra teljesül, hogy:

(A \otimes B)^* = A^* \otimes B^*

A Kronecker-szorzat rangja:

\mathrm{Rang}(A \otimes B) = \mathrm{Rang}(A) \cdot \mathrm{Rang}(B).

Ha A mérete n\times n és B mérete m\times m, akkor a Kronecker-szorzat determinánsa

\det(A\otimes B)={\det}^m (A) \, {\det}^n(B).

Ha (\lambda_i)_{i=1..n}\, az A és (\mu_j)_{j=1..m}\, a B sajátértékei, akkor

(\lambda_i \, \mu_j)_{i=1..n \atop j=1..m} az A\otimes B mátrix sajátértékei.

Ha A,B invertálható, akkor

(A\otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}.

Legyenek A,B,C és D komplex mátrixok a

  • A : m \times n
  • B : p \times q
  • C : n \times r
  • D : q \times s

dimenziókkal; ekkor léteznek az AC és a BD szorzatok, és [1]

AC\otimes BD=(A\otimes B)(C\otimes D).

A pszeudoinverzekre

(A\otimes B)^{+}=A^{+} \otimes B^{+}.

Általában, ha A^- és B^- A és B általánosított inverzei, akkor A^- \otimes B^- az A \otimes B általánosított inverze.

Mátrixegyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Adva legyenek az A\in\mathrm{Mat}(k\times\ell),\, B\in\mathrm{Mat}(m\times n),\, C\in\mathrm{Mat}(k\times n) mátrixok, és keressük azt az X\in\mathrm{Mat}(\ell\times m) mátrixot, amire AXB=C\,. Ekkor teljesül a következő ekvivalencia:

AXB=C \iff (B^T\otimes A)\, \operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(C)

ahol \operatorname{vec} a mátrix oszloponkénti vektorizáltja oszlopvektorrá. Jelölje az X\in\mathrm{Mat}(\ell\times m) mátrix oszlopait \vec{x}_1,...,\vec{x}_m, ekkor az \operatorname{vec}(X)=\begin{pmatrix} \vec{x}_1 \\ \vdots \\ \vec{x}_m \end{pmatrix} egy \ell\cdot m hosszú oszlopvektor. Hasonlóan, \operatorname{vec}(C) egy m\cdot n oszlopvektor.

A vektorizáltból visszaszámítható a mátrix, így ha megvan X\in\mathrm{Mat}(\ell\times m), akkor az X mátrix is megvan.

Az ekvivalencia bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Teljesül AXB=C \iff AX\left(\vec{b}_1,...,\vec{b}_n\right)=\left(\vec{c}_1,...,\vec{c}_n\right)
\iff AX \vec{b_i}=\vec{c_i} \iff \begin{pmatrix} AX \vec{b}_1 \\ \vdots \\ AX \vec{b}_n \end{pmatrix}=\operatorname{vec}(C)

ahol 
\begin{pmatrix} A(\vec{x}_1,...,\vec{x}_m) \vec{b}_1 \\ \vdots \\ A(\vec{x}_1,...,\vec{x}_m) \vec{b}_n \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} A(b_{11}\vec{x}_1+...+b_{m1}\vec{x}_m) \\ \vdots \\ A(b_{1n}\vec{x}_1+...+b_{mn}\vec{x}_m) \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} A\, b_{11} & \cdots & A\, b_{m1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A\, b_{1n} & \cdots & A\, b_{mn}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \vec{x}_1 \\ \vdots \\ \vec{x}_m \end{pmatrix}=(B^T\otimes A)\, \operatorname{vec}(X)

Mátrix együtthatós egyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az i=1,...,r\, és j=1,...,s\, indexekhez legyenek adva az A_{ij}\in\mathrm{Mat}(k\times\ell),\, B_{ij}\in\mathrm{Mat}(m\times n),\, C_i\in\mathrm{Mat}(k\times n) mátrixok. Keressük az X_i\in\mathrm{Mat}(\ell\times m) mátrixokat, amelyekre megoldjuk az

\begin{bmatrix} 
A_{11} X_1 B_{11}+...+A_{1s} X_s B_{1s} & =      & C_1 \\
                                        & \vdots &     \\
A_{r1} X_1 B_{r1}+...+A_{rs} X_s B_{rs} & =      & C_r \\
\end{bmatrix}

egyenleteket. Ez ekvivalens a következő egyenletrendszer megoldásával:

\begin{pmatrix} 
B_{11}^T \otimes A_{11} & \cdots & B_{1s}^T \otimes A_{1s} \\
\vdots                  & \ddots & \vdots                  \\
B_{r1}^T \otimes A_{r1} & \cdots & B_{rs}^T \otimes A_{rs} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \operatorname{vec} \, X_1  \\ \vdots \\ \operatorname{vec} \, X_s  \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} \operatorname{vec} \, C_1  \\ \vdots \\ \operatorname{vec} \, C_r \end{pmatrix}

Kapcsolat a tenzorszorzással[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Adva legyenek a véges dimenziós vektorterek közötti \varphi_1:V_1\longrightarrow W_1 és \varphi_2:V_2\longrightarrow W_2 lineáris leképezések. Ekkor egyértelműen létezik egy

\varphi_1\otimes\varphi_2:V_1\otimes V_2\longrightarrow W_1\otimes W_2 lineáris leképezés

a \varphi_1\otimes \varphi_2(v_1\otimes v_2)=\varphi_1(v_1)\otimes \varphi_2(v_2) -vel vett tenzorszorzatok között.

Hogyha bázist választunk az V_1, W_1, V_2 és W_2 tereken, akkor a \varphi_1 lineáris leképezés ábrázolható egy mátrixszal. Jelölje ezt a mátrixot A, és a \varphi_2 ábrázolását B! Ekkor az A\otimes B Kronecker-szorzat a \varphi_1\otimes\varphi_2 tenzorszorzat ábrázolása. A bázisvektorok szintén tenzorszorzódnak, tehát ha (e_1,e_2,\ldots, e_n) a V_1 bázisa, és (f_1,f_2,\ldots, f_p) a V_2 bázisa az ábrázolásban, akkor a Kronecker-szorzat a (e_1\otimes f_1, e_1\otimes f_2, \ldots, e_1\otimes f_p, e_2\otimes f_1, \ldots, e_n\otimes f_{p-1}, e_n\otimes f_p) bázisban lesz a tenzorszorzat mátrixa.

További alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Kronecker-szorzást használják például az általánosított regressziós analízisben a korrelált hibák kovarianciamátrixának előállításához. Az eredmény egy blokkdiagonális mátrix.

A kvantummechanikában több részecskés rendszereket írnak le a segítségével, ahol minden részecske spektruma korlátos. Nem korlátos spektrum esetén csak a Kronecker-szorzat algebrai szerkezete marad meg, mivel ekkor nem nem ábrázolható mátrixokkal.

Kapcsolódó műveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Tracy‑Singh és a Khatri‑Rao-szorzatok a Kronecker-szorzat általánosításai blokkmátrixokra. Legyen az A m × n-es mátrix mi × nj méretű Aij blokkokra, a B p × q-s mátrix pk × ql méretű Bkl blokkokra particionálva, ahol Σi mi = m, Σj nj = n, Σk pk = p és Σl ql = q.

Tracy‑Singh-szorzat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Tracy‑Singh-szorzat definíciója:[2][3]

 \mathbf{A} \circ \mathbf{B} = (\mathbf{A}_{ij}\circ \mathbf{B})_{ij} = ((\mathbf{A}_{ij} \otimes \mathbf{B}_{kl})_{kl})_{ij}

ahol a szorzat ij indexű blokkja az mi p × nj q méretű AijB mátrix, ahol is (kl)-edik blokk az mi pk × nj ql méretű AijBkl mátrix. Azaz a Tracy‑Singh-szorzat a blokkok Kronecker-szorzatának blokkmátrixa.

Példa:

Legyenek A és B mindketten 2 × 2-es blokkmátrixok:

 \mathbf{A} = 
\left[
\begin{array} {c | c}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\
\hline
\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22}
\end{array}
\right]
= 
\left[
\begin{array} {c c | c}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\hline
7 & 8 & 9 
\end{array}
\right]
,\quad
\mathbf{B} = 
\left[
\begin{array} {c | c}
\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} \\
\hline
\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22}
\end{array}
\right]
= 
\left[
\begin{array} {c | c c}
1 & 4 & 7 \\
\hline
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9 
\end{array}
\right]
,

kapjuk, hogy:


\mathbf{A} \circ \mathbf{B} = 
\left[
\begin{array} {c | c}
\mathbf{A}_{11} \circ \mathbf{B} & \mathbf{A}_{12} \circ \mathbf{B} \\
\hline
\mathbf{A}_{21} \circ \mathbf{B} & \mathbf{A}_{22} \circ \mathbf{B} 
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array} {c | c | c | c }
\mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{12} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{12} \\
\hline
\mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{22} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{22} \\
\hline
\mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{12} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{12} \\
\hline
\mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{22} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{22}
\end{array}
\right]

=
\left[
\begin{array} {c c | c c c c | c | c c}
1 & 2 & 4 & 7 & 8 & 14 & 3 & 12 & 21 \\
4 & 5 & 16 & 28 & 20 & 35 & 6 & 24 & 42 \\
\hline
2 & 4 & 5 & 8 & 10 & 16 & 6 & 15 & 24 \\
3 & 6 & 6 & 9 & 12 & 18 & 9 & 18 & 27 \\
8 & 10 & 20 & 32 & 25 & 40 & 12 & 30 & 48 \\
12 & 15 & 24 & 36 & 30 & 45 & 18 & 36 & 54 \\
\hline
7 & 8 & 28 & 49 & 32 & 56 & 9 & 36 & 63 \\
\hline
14 & 16 & 35 & 56 & 40 & 64 & 18 & 45 & 72 \\
21 & 24 & 42 & 63 & 48 & 72 & 27 & 54 & 81
\end{array}
\right].

Khatri‑Rao-szorzat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Khatri‑Rao-szorzat definíciója:[4][5]

 \mathbf{A} \ast \mathbf{B} = (\mathbf{A}_{ij}\otimes \mathbf{B}_{ij})_{ij}, ahol az ij indexű blokk mipi × njqj méretű Kronecker-szorzata a megfelelő blokkoknak, feltéve, hogy a két mátrix blokkjainak száma azonos. A szorzat mérete (Σi mipi) × (Σj njqj).

Példák:

1.példa:


\mathbf{A} \ast \mathbf{B} = 
\left[
\begin{array} {c | c}
\mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{12} \\
\hline
\mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{22} 
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array} {c c | c c}
1 & 2 & 12 & 21 \\
4 & 5 & 24 & 42 \\
\hline
14 & 16 & 45 & 72 \\
21 & 24 & 54 & 81
\end{array}
\right].

2.példa: oszloponkénti Khatri‑Rao-szorzat:


\mathbf{C} = 
\left[
\begin{array} { c | c | c}
\mathbf{C}_1 & \mathbf{C}_2 & \mathbf{C}_3
\end{array}
\right]
= 
\left[
\begin{array} {c | c | c}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 
\end{array}
\right]
,\quad
\mathbf{D} = 
\left[
\begin{array} { c | c | c }
\mathbf{D}_1 & \mathbf{D}_2 & \mathbf{D}_3
\end{array}
\right]
= 
\left[
\begin{array} { c | c | c }
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9 
\end{array}
\right]
,

kapjuk, hogy:


\mathbf{C} \ast \mathbf{D} 
= 
\left[
\begin{array} { c | c | c }
\mathbf{C}_1 \otimes \mathbf{D}_1 & \mathbf{C}_2 \otimes \mathbf{D}_2 & \mathbf{C}_3 \otimes \mathbf{D}_3
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array} { c | c | c }
1 & 8 & 21 \\
2 & 10 & 24 \\
3 & 12 & 27 \\
4 & 20 & 42 \\
8 & 25 & 48 \\
12 & 30 & 54 \\
7 & 32 & 63 \\
14 & 40 & 72 \\
21 & 48 & 81
\end{array}
\right].

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Kronecker-szorzatot Leopold Kronecker után nevezték el, aki elsőként definiálta és használta. Korábban néha Zehfuss-mátrixnak nevezték, Johann Georg Zehfuss nyomán.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Steeb, Willi Hans: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss.Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S.16
  2. Tracy, DS, Singh RP. 1972. A new matrix product and its applications in matrix differentiation. Statistica Neerlandica 26: 143–157.
  3. Liu S. 1999. Matrix results on the Khatri-Rao and Tracy-Singh products. Linear Algebra and its Applications 289: 267–277. (pdf)
  4. Khatri C. G., C. R. Rao (1968), "Solutions to some functional equations and their applications to characterization of probability distributions", Sankhya 30: 167–180, <http://sankhya.isical.ac.in/search/30a2/30a2019.html>
  5. Zhang X, Yang Z, Cao C. (2002), "Inequalities involving Khatri-Rao products of positive semi-definite matrices", Applied Mathematics E-notes 2: 117–124

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]