Konvergencia (matematika)

Monoton növekvő, felülről korlátos számsorozat, egy jellegzetes konvergens sorozat (10-(10/n))

A konvergencia a matematikai analízis régi, központi fogalma. Maga a szó latin elemekből épül fel: com- 'együtt' + vergere 'hajlít', tulajdonképpeni jelentése összehajlás, összetartás.

Elemek egy (a_n) sorozatának konvergenciáján lényegében azt értjük, hogy a sorozat tagjai egyre közelebb kerülnek egy értékhez, oly mértékben, hogy úgy tekinthetjük mintha az $n\to \infty$ határesetben végtelen kis távolságra megközelítenék azt. A matematikai analízis egyik legfontosabb feladata, hogy a „végtelen közeli” kifejezésnek pontos és konzisztens értelmet adjon és ezzel a határérték fogalmát matematikai eszközökkel megragadhatóvá, kezelhetővé tegye.

Attól függően, hogy milyen matematikai objektumok sorozata esetén beszélünk konvergenciáról, kissé eltér egymástól a

• számsorozat,
• normált térbeli vektorsorozat,
• metrikus térbeli pontsorozat
• topologikus pontsorozat, illetve a
• függvénysorozat

konvergenciájának definíciója.

Általános intuitív definíció: az (a_n) sorozat konvergens és az A elemhez konvergál, ha az A elem akármilyen kicsi környezetét is vesszük, egy N_(ε) küszöbindextől elkezdve a sorozat minden eleme benne van ebben a kicsi környezetben.

Számsorozat konvergenciája

$K$ rendezett test

$a_{n}\in K,n\in \mathbb {N}$ mely szerint $a\$ tehát $K\$ elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

$\exists {\alpha \in K}\ \forall {\epsilon >0}\ \exists n_{0}\in \mathbb {N} \ \forall n\in \mathbb {N} :(n>n_{0}\Rightarrow \mid a_{n}-\alpha \mid <\epsilon )$

akkor a sorozat konvergens, határértéke $\alpha \$ tehát:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha$

Valós számsorozatok konvergenciája

A (x_n) valós számsorozat konvergens, ha létezik olyan x valós szám, hogy minden ${\epsilon >0}$ (valós) számhoz található olyan $n_{0}\in \mathbb {N}$ küszöbszám, hogy ha $n>n_{0}$, akkor $|x_{n}-x|{<\epsilon }$. Ekkor ezt az x értéket a sorozat határértékének hívjuk.

Valós szám-n-esek sorozatának konvergenciája

A valós pontsorozatok konvergenciájának definíciója a valós számsorozatok definíciójához hasonló.

Az (x_n) valós pontsorozat konvergens, ha létezik olyan x pont, hogy minden ${\epsilon >0}$ (valós) számhoz található olyan $n_{0}\in \mathbb {N}$ küszöbszám, hogy ha $n>n_{0}$, akkor $|x_{n}-x|{<\epsilon }$, ahol a kivonás koordinátánként értendő. Ekkor ez az x pont a sorozat határértéke.

A valós pontsorozat pontosan akkor konvergens, ha egyes koordinátáinak sorozata konvergens, mint valós számsorozat.

Komplex számsorozatok konvergenciája

A (z_n) komplex számsorozat konvergens, ha létezik olyan z komplex szám, hogy minden ${\epsilon >0}$ (valós) számhoz található olyan $n_{0}\in \mathbb {N}$ küszöbszám, hogy ha $n>n_{0}$, akkor $|z_{n}-z|{<\epsilon }$. Ekkor ezt a z értéket a sorozat határértékének hívjuk. Egy komplex számsorozat konvergens pontosan akkor, ha az elemek valós, illetve képzetes részéből vett valós számsorozat külön-külön konvergens.

Konvergencia metrikus téren

Legyen (X, d) egy metrikus tér. Az $x_{n}\in X$ sorozat konvergens, ha létezik olyan $x\in X$ elem, hogy minden ${\epsilon >0}$ számhoz található olyan $n_{0}\in \mathbb {N}$ küszöbszám, hogy ha $n>n_{0}$, akkor $d(x_{n},\ x){<\epsilon }$.

Konvergencia topologikus téren

Topologikus téren a konvergencia a metrikus térhez hasonlóan definiálható; metrika hiányában azonban környezetekre kell hagyatkoznunk.

Legyen (X, Ω) egy topologikus tér. Az $x_{n}\in X$ sorozat konvergens, ha létezik olyan $x\in X$ pont, hogy x minden B környezetéhez található olyan $n_{0}\in \mathbb {N}$ küszöbszám, hogy ha $n>n_{0}$, akkor $x_{n}\in B$.

Ahol is az x pont környezetei azok a B halmazok, amikre $B\in \Omega$, és $x\in B$.

Példák

${n\in \mathbb {N} },{a_{n}\in \mathbb {R} }$

$a_{n}={1 \over n}$

ennek a sorozatnak a határértéke 0.

$a_{n}={n \over n+1}$

ennek a sorozatnak a határértéke 1.

$a_{n}=\left({n+1 \over n}\right)^{n}$

ennek a sorozatnak a határértéke $e$ (Euler-féle szám) (Euler után, közelítőleg 2,71828).

Megjegyzések, tételek

Konvergens sorozatok összege, szorzata, skalárszorosa, hányadosa is konvergens, és a határérték megegyezik a határértékek összegével, szorzatával, skalárszorosával, hányadosával. (Hányadosnál természetesen nem kerülhet a nevezőbe 0, azaz a nevezőbeli sorozat egy eleme sem lehet 0, és nem is tarthat 0-hoz, hogy értelmes legyen.)

Ha egy sorozat nem konvergens, akkor divergensnek nevezzük.

Ha a definíció alapján szeretnénk belátni, hogy egy sorozat konvergens, meg kell sejtenünk a határértékét. Ha ez nem lehetséges, akkor használhatjuk a Cauchy-sorozat definícióját, ami a valós számokon ekvivalens a konvergenciával (teljesség). A konvergencia azonban különböző kritériumok segítségével is belátható. A legtöbb kritérium elégséges, de nem szükséges, vagyis lehet, hogy egy kritériummal nem látható be a konvergencia, de egy másikkal igen.

Ha egy sorozat korlátos és monoton, akkor konvergens.

Kapcsolódó szócikkek

Konvergenciakritériumok (matematika)

Források

• Császár Ákos: Valós analízis