Hermitikus mátrix

A lineáris algebrában hermitikus mátrix, Hermite-mátrix vagy ritkábban ermitikus mátrix a neve az olyan komplex négyzetes mátrixnak, amely egyenlő konjugált transzponált mátrixával, vagyis az i-edik sorban és j-edik oszlopban lévő elem egyenlő a j-ik sorban és i-edik oszlopban lévő elem komplex konjugáltjával, minden i és j indexre:

$a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}$

vagy az A* konjugált transzponálttal jelölve:

$A=A^{*}\quad$

Például a

${\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}$

Hermite-mátrix.

A főátló elemei szükségszerűen valós számok. A valós szimmetrikus mátrix a Hermite-mátrix speciális esete.

Tulajdonságok

A hermitikus mátrixok normális mátrixok, azaz teljesül rájuk, hogy $A^{*}A=AA^{*}$. A véges dimenziós spektrálelmélet szerint ezért diagonális mátrixszá transzformálhatók:

$D=U^{*}AU$,

ahol U unitér. Az így kapott D átlós mátrixok valósak; ez azt jelenti, hogy sajátértékeik valós számok, és sajátvektoraik valós vektorok. Sőt, ha A hermitikus, akkor a különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorai ortogonálisak: van egy ortonormált bázis A sajátvektoraiból.

Két Hermite-mátrix összege is Hermite-mátrix, és egy invertálható Hermite-mátrix inverze is hermitikus. A szorzatuk viszont csak akkor lesz hermitikus, ha felcserélhetők; ezért Aⁿ hermitikus, ha A is az, és n pozitív egész. Az n-szer n-es hermitikus mátrixok vektorteret alkotnak a valós számok fölött, de nem a komplex számok fölött. Ennek dimenziója n²: egy szabadsági fok a főátlón levő minden egyes szám, és kettő minden egyes átló fölött levő szám miatt.

Ha egy hermitikus mátrix sajátértékei mind pozitívok, akkor a mátrix pozitív definit; ha nem negatívok, akkor pozitív szemidefinit (ekkor a nulla is lehet sajátérték). Hasonlóan definiálják a negatív definit, és a negatív szemidefinit mátrixot. Ha pozitív és negatív sajátértékek is vannak, akkor a mátrix indefinit.

Források

• Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo, Chao-Kuei Hung, Shu-Te Egyetem, geometriaibb megközelítéssel.
• Hermitian Matrices a MathPages-nél