Felhajtóerő (hidrosztatika)

A nyugvó folyadék és gáz a benne lévő testre felfelé irányuló erővel hat. Ezt az erőt felhajtóerőnek nevezzük.

A felhajtóerő függ

• a test térfogatától;
• a folyadék sűrűségétől.

A felhajtóerő nagysága nem függ a test anyagától. Megállapítható, hogy a felhajtóerő nem csak a folyadékba, hanem a gázba merülő testre is hat.

Arkhimédész törvénye

Minden folyadékba vagy gázba merülő testre felhajtóerő hat. A felhajtóerő egyenlő nagyságú a test által kiszorított folyadék vagy gáz súlyával. Ez Arkhimédész törvénye.

A felhajtóerő nagyságát a kiszorított folyadék térfogatának és sűrűségének ismeretében ki is számolhatjuk. A felhajtóerő a hidrosztatikai nyomásból származtatható.

A felhajtóerő meghatározható úgy, hogy kiszámítjuk a kiszorított folyadék tömegét és abból következtetünk a kiszorított folyadék súlyára, illetve a felhajtóerőre.

Arkhimédész törvényét az alábbi gondolatkísérlettel lehet igazolni: Vegyünk egy tetszőleges szabályos vagy szabálytalan alakú szilárd testet. Nyugalomban lévő folyadékban gondolatban jelöljünk ki egy olyan zárt felületet, mely megegyezik a szilárd test felületével (tehát a test és a folyadékrész térfogata egyenlő). Erre a folyadékrészre a súlya hat, mely feltételünk szerint egyensúlyban van a környezetével. Ha a folyadékrészt helyettesítjük a szilárd testtel, a megmaradt folyadék ugyanolyan erővel hat a felületére, mint az előzőekben, tehát a felhajtóerő a test térfogatával egyenlő térfogatú folyadék súlyával egyezik meg, a felhajtóerő támadási pontja pedig a folyadékrész tömegközéppontjában lesz.

Úszás

Vegyünk egy $\rho_f \,$ sűrűségű folyadékba merülő, $V \,$ térfogatú, $\rho \,$ sűrűségű testet. A test súlya: $G_{test}=\rho V g \,$. Arkhimédész törvénye miatt rá $F_{felh.} = G_{viz} = \rho_f V^{\prime} g$ nagyságú felhajtóerő hat. ($V^{\prime}$ a test térfogatának folyadékba merülő része.) A test akkor van egyensúlyban, ha a két erő kiegyenlíti egymást, $G_{test} = F_{felh.} \,$. Ekkor a test a folyadék felszínén lebeg. Ha a felhajtóerő nagyobb, mint a test súlya, akkor a test emelkedik, ha kisebb, akkor a test süllyed.

Az egyensúlynak azonban nemcsak az a feltétele, hogy az úszó test súlya megegyezzék a felhajtóerővel, hanem az is, hogy a két erő egy függőlegesbe essék. Ha ugyanis ez nem áll fenn, a testre nyomaték hat, melynek nagysága, ha a két erő támadáspontját összekötő egyenes szakasz vízszintes vetülete $\Delta y \,$,:

$M = G_{test} \Delta y \,$

A víz felszínén úszó testek esetén a folyadék felszínének neve: úszósík. A testnek az úszósíkban lévő szelvénye az úszófelület vagy vízvonalfelület, az úszófelületet határoló síkidom a vízvonal. Megjegyzendő, hogy az említett jellemzők függenek a hajó alakján és önsúlyán kívül a tehertől, sőt attól is, hogy a hajó édesvízbe vagy tengervízbe merül.

Stabilitás

Metacentrum. M₀=kezdeti metacentrum, M_φ=φ dőlésszöghöz tartozó metacentrum

Az úszó test egyensúlyához a fentiek szerint a felhajtóerő és a test súlyának egyenlősége, és az kell, hogy a két erő támadáspontja egy egyenesbe essen. Ha az úszó testet egy nyomaték kitéríti (például oldalirányú szél a vitorláshajót), akkor az új helyzetbe került test felhajtóereje és súlya nem esik egy egyenesbe, az ebből származó nyomaték egyensúlyt tart a kitérítő nyomatékkal. Az úszási tengely és a felhajtóerőnek a kitérített helyzetbeni egyenesének metszéspontja a metacentrum. A test egyensúlyi helyzete akkor stabil, ha a metacentrum a test tömegközéppontja felett helyezkedik el. Ha a két pont egybeesik, az egyensúly közömbös (például üres ledugózott palack esetében), ha a metacentrum a tömegközéppont alatt helyezkedik el, az egyensúly labilis, a legkisebb kitérítésre a test felfordul.

A tömegközéppont és a metacentrum távolsága a metacentrikus magasság a stabilitásra jellemző szám. A metacentrikus magasság nem állandó érték, a kitérés szögétől függően változik. A kezdeti metacentrikus magasság, vagyis kis kitérésekre az alábbi képlettel számítható:

$h_m=\frac {I_0}{V}-e$,

ahol

$h_m\,$ a metacentrikus magasság,

$I_0\,$ az úszófelület másodrendű nyomatéka az elfordulás y tengelyére, az úszófelület, az úszó test és a folyadékfelszín metszéséből származó síkidom

$V \,$ a kiszorított folyadéktérfogat

$e \,$ a test tömegközéppontja és a kiszorított folyadéktérfogat tömegközéppontja közötti távolság nyomatékmentes helyzetben

A metacentrikus magasság szokásos értékei különböző hajóknál

Hajófajta	Metacentrikus magasság hm [m]
Teherhajók	0,6…0,9
Személyszállító hajók	0,45..0,6
Vitorlás hajók	0,9…1,5
Hadihajók	0,75..1,3

Kezdeti metacenrikus magasság levezetése

Kezdeti metacentrikus magasság
M - metacentrum
S - tömegközéppont
F - felhajtóerő

Kezdeti metacentrikus magassághoz
Kék vonal - vízvonal
Sárga idom - úszófelület

Kis Δφ szögelfordulásnál igaz, hogy

$\Delta \phi \approx \sin \Delta \phi \approx \mathrm{tg} \Delta \phi \,$ és

$\cos \Delta \phi \approx 1 \,$.

A kibillent helyzetben az ábrák szerint egy dx vastagságú réteg kiszorított víztérfogata úgy változik, hogy jobboldalt a kék háromoldalú hasábbal megnő, bal oldalon pedig a zöld háromoldalú hasábbal csökken. A felhajtóerő abszolút értéke változatlan marad (kis kitérések esetén a két háromoldalú hasáb térfogata azonos), de támadáspontja jobbra tolódik és hatásvonala az úszási tengelyt az M metacentrumban metszi.

A dx vastagságú réteget eredeti helyzetébe visszaállítani akaró nyomaték:

$dM = 2g \rho \frac {y^2 \Delta \phi}{2} \frac {2}{3}y dx$,

az egész hajó nyomatéka pedig:

$M = 2g \rho \Delta \phi \frac {2}{3} \int y^3 dx$.

Ezzel a nyomatékkal a teljes V térfogat felhajtóerejének nyomatéka egyenlő:

$M = \Delta y V g \rho \,$,

és így írható:

$\Delta y = \Delta \phi \frac {\frac {2}{3} \int y^3 dx}{V}.$

A fenti kifejezés számlálója nem más, mint az úszófelület másodrendű nyomatéka az x tengelyre:

$I_0 = \int_{0}^{l} \frac {1} {12}(2y)^3 dx = \frac {2}{3} \int_{0}^{l} y^3 dx$,

$\Delta y = (e + h_m) \Delta \phi \,$,

így:

$h_m = \frac {I_0}{V}-e$

Külső hivatkozások

• Letölthető interaktív Flash szimuláció a felhajtóerő tanulmányozásához magyarul. Elérés: magyarázó oldalon át vagy közvetlenül a PhET-től.
• Letölthető interaktív Flash szimuláció a folyadékba merülő testek sűrűségének tanulmányozásához a PhET-től magyarul

Irodalom

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.

• Dr. Gruber József-Blahó Miklós: Folyadékok mechanikája. Hatodik kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1965.
• Willi Bohl: Műszaki áramlástan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1983. ISBN 9631044831