Másodrendű nyomaték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A másodrendű nyomaték a síkidom jellemzője, melyet az ilyen keresztmetszetű rúd hajlítással szembeni ellenállásának és lehajlásának számítására használnak. Hasonló a szerepe hajlításnál, mint csavarásnál a poláris másodrendű nyomatéknak.

A másodrendű nyomaték nem tévesztendő össze a tehetetlenségi nyomatékkal, melyet a szöggyorsulás számításánál használnak. Mérnökök sokszor tehetetlenségi nyomaték nevet használnak másodrendű nyomaték helyett, ami zavaró lehet. Hogy melyik fogalomról van szó, azt a mértékegységből könnyen meg lehet állapítani.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tengelyre számított másodrendű nyomaték(más szóval ekvatoriális másodrendű nyomaték):

I_x = \int y^2\, dA

ahol

  •  I_x \, = a másodrendű nyomaték az  x \, tengely körül
  •  dA \, = egy elemi terület
  •  y \, =  dA \, elem távolsága az  x \, tengelytől

Mértékegysége[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A másodrendű nyomaték SI egysége méter a negyedik hatványon (m4).

Különböző keresztmetszetek másodrendű nyomatéka (Lásd még Másodrendű nyomatékok listája más keresztmetszetekre.)

Téglalap keresztmetszet (x és y tengelyek a súlyponton mennek át)

I_{x}=\frac{bh^3}{12}
  •  b \, = szélesség (x-irányban),
  •  h \, = magasság (y-irányban)
I_{y}=\frac{hb^3}{12}
  •  b \, = szélesség (x-irányban),
  •  h \, = magasság (y-irányban)

Körkeresztmetszet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

I_0 = \frac{\pi r^4}{4} = \frac{\pi d^4}{64}
  •  r \, = sugár,
  •  d \, = átmérő

Steiner-tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Steiner-tétel segítségével egy síkidom másodrendű nyomatéka határozható meg tetszőleges tengelyre, ha a súlyponti, vele párhuzamos tengelyre ismert a másodrendű nyomaték és a tengelynek a súlyponti tengelytől való távolsága.

I_z = I_{CG}+Ad^2\,
  •  I_z \, = másodrendű nyomaték a z-tengelyre,
  •  I_{CG} \, = másodrendű nyomaték a z tengellyel párhuzamos súlyponti tengelyre, (egybeesik a semleges tengellyel),
  •  A \, = a síkidom területe,
  •  d \, = a két tengely közötti távolság

Összetett keresztmetszetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gyakran egyszerűbb egy síkidomot részekre bontani, egyenként kiszámítani saját súlyponti tengelyükre a másodrendű nyomatékot, majd a Steiner-tétel segítségével összegezni.

I_{x}= \sum \left(y^{2}A +I_\mathrm{local}\right)
I_{y}= \sum \left(x^{2}A +I_\mathrm{local}\right)
  •  y \, = távolság az x-tengelytől
  •  x \, = távolság az y-tengelytől
  •  A \, = a rész területe
  •  I_{local} \, a rész tehetetlenségi nyomatéka a megfelelő irányban (azaz  I_x \, illetve  I_y \, ).
I-tarto.jpg

"I-tartó" keresztmetszet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az I-tartót vagy három téglalap összegeként vagy egy nagy téglalap és két kis téglalap különbségeként lehet számítani.

  •  b \, = szélesség (x-irányban),
  •  h \, = magasság (y-irányban)
  •  t_w \, = a gerinc szélessége
  •  h_1 \, = a két szalag távolsága

A következő képlet a nagy téglalapból kivonva a kis téglalapokat módszert használja. Az x-tengelyre vett másodrendű nyomaték:

I_{x}=\frac{{bh^3}-2{{\frac{b-t_{w}}{2}}{h_{1}}^3}}{12}

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomaték számításánál figyelembe kell venni, hogy az eltávolítandó részek másodrendű nyomatékát a Steiner-tétellel kell számítani:

I_{y}=\frac{hb^3}{12}-2\left({\frac{h_{1}\left({\frac{b-t_{w}}{2}}\right)^3}{12}+Ax^2}\right)
  • A=h_{1}{\frac{b-t_{w}}{2}} = a levonandó részek területe,
  • x={\frac{b+t_{w}}{4}} = a levonandó részek súlypontjának távolsága az y-tengelytől.

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomatékot egyszerűbben lehet kiszámítani, ha az I-tartót három téglalap összegére bontjuk, mert akkor mindegyik rész súlypontja a tengelyre esik:

I_{y}=\frac{h_{1} {t_{w}}^3}{12} + 2 \frac{\frac{h-h_{1}}{2} b^3}{12}

Centrifugális másodrendű nyomaték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Ixy centrifugális másodrendű nyomaték definíciós képlete:

I_{xy} = -\int xy\, dA
  •  dA \, = elemi terület,
  •  x \, = az elemi  dA \, terület távolsága az y tengelytől,
  •  y \, = az elemi  dA \, terület távolsága az x tengelytől.

A centrifugális másodrendű nyomaték ismeretére akkor van szükség, ha aszimmetrikus keresztmetszetű rúd hajlításakor ébredő feszültségeket számítjuk. A másodrendű nyomatéktól eltérően a centrifugális másodrendű nyomaték értéke pozitív és negatív is lehet. Azokat az egymásra merőleges tengelyeket, melyekre a centrifugális tehetetlenségi nyomaték értéke zéró, a keresztmetszet főtengelyeinek hívjuk. Szimmetriatengelyek mindig főtengelyek.

A centrifugális másodrendű nyomaték használható az eredeti koordináta-rendszerhez képest elforgatott rendszerben vett másodrendű nyomatékok számításához:

{I_x}^* = \frac{I_{x} + I_{y}}{2} + \frac{I_{x} - I_{y}}{2} \cos(2 \varphi) + I_{xy} \sin(2 \phi)
{I_y}^* = \frac{I_{x} + I_{y}}{2} - \frac{I_{x} - I_{y}}{2} \cos(2 \varphi) - I_{xy} \sin(2 \phi)
{I_{xy}}^* = - \frac{I_{x} - I_{y}}{2} \sin(2 \varphi) + I_{xy} \cos(2 \varphi)
  • \varphi\, = az elfordulás szöge
  •  I_x \, ,  I_y \, és  I_z \, = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az eredeti koordináta-rendszerben,
  •  {I_x}^* \, ,  {I_y}^* \, és  {I_{xy}}^* \, = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az elforgatott koordináta-rendszerben.

Az a \varphi szög, mellyel el kell fordítani a koordináta-rendszert, hogy a centrifugális nyomaték zéró legyen:

 \varphi = \frac{1}{2} \arctan \frac{ 2 I_{xy}} {I_x-I_y}

Ez a szög az, amit az eredeti koordináta-rendszer tengelyei a főtengelyekkel bezárnak.

Steiner-tétel centrifugális másodrendű nyomaték esetén[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A centrifugális másodrendű nyomatékokra is létezik Steiner-tétel, ám ekkor a Steiner-tag más. Egy síkidom tetszőleges helyzetű centrifugális másodrendű nyomatékát megkapjuk, ha a velük párhuzamos súlyponti tengelypárra számított másodrendű nyomatékhoz hozzáadjuk az előjeles súlypont-koordinátáknak és a síkidom területének szorzatát.

I_{xy} = I_{uv}+x_sy_sA\,
  •  I_{xy} \, = centrifugális másodrendű nyomaték a xy-tengelyre,
  •  I_{uv} \, =centrifugális másodrendű nyomaték az xy tengelyekkel párhuzamos súlyponti tengelyekre,,
  •  A \, = a síkidom területe,
  •  x_s,y_s \, = síkidom súlypontjának koordinátái az xy koordinátarendszerben

Bizonyítás:

Mivel a koordináták közötti összefüggések:

x=u+x_s\,
y=v+y_s\,

így fel tudjuk írni az x,y tengelypárra számított centrifugális másodrendű nyomatékokat a következő alakban is

I_{xy} = \int xy\, dA = \int (u+x_s)(v+y_s)\,dA= \,
\int uv\,dA+y_s\int u\, dA +x_s\int v\,dA+x_sy_s\int\,dA= \
I_{uv}+y_sS_v+x_sS_u+x_sy_sA ,\

Ahol

  •  S_u \, = u súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték
  •  S_v \, =v súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték

Az u,v súlyponti tengelyekre a statikai (elsőrendű) nyomatékok zérus értékűek, ezért adódik, hogy

I_{xy}=I_{uv}+x_sy_sA \, .

A hajlított tartó feszültségei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az hajlított tartóban ébredő feszültség általános esetben:

\sigma=-\frac{M_y I_x + M_x I_{xy}}{I_x I_y - {I_{xy}}^2 } x + \frac{M_x I_y + M_y I_{xy}}{I_x I_y - {I_{xy}}^2} y
  • \sigma \, a hajlítófeszültség
  •  x \, = az y-tengelytől mért távolság
  •  y \, = az x-tengelytől mért távolság
  •  M_y \, = hajlítónyomaték az y-tengely körül
  •  M_x \, = hajlítónyomaték az x-tengely körül
  •  I_x \, = másodrendű nyomaték az x-tengelyre
  •  I_y \, = másodrendű nyomaték az y-tengelyre
  •  I_{xy} \, = centrifugális nyomaték

Tehetetlenségi főtengelyek esetében

\sigma=-\frac{M_y}{I_y} x + \frac{M_x}{I_x} y

Ha csak egyik tengely körül ébred hajlítónyomaték:

{\sigma}= \frac{M y}{I_x}

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Referenciák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]