Másodrendű nyomaték

A másodrendű nyomaték a síkidom jellemzője, melyet az ilyen keresztmetszetű rúd hajlítással szembeni ellenállásának és lehajlásának számítására használnak. Hasonló a szerepe hajlításnál, mint csavarásnál a poláris másodrendű nyomatéknak.

A másodrendű nyomaték nem tévesztendő össze a tehetetlenségi nyomatékkal, melyet a szöggyorsulás számításánál használnak. Mérnökök sokszor tehetetlenségi nyomaték nevet használnak másodrendű nyomaték helyett, ami zavaró lehet. Hogy melyik fogalalomról van szó, azt a mértékegységből könnyen meg lehet állapítani.

Definíció

A tengelyre számított másodrendű nyomaték(más szóval ekvatoriális másodrendű nyomaték):

$I_x = \int y^2\, dA$

ahol

• $I_x \,$ = a másodrendű nyomaték az $x \,$ tengely körül
• $dA \,$ = egy elemi terület
• $y \,$ = $dA \,$ elem távolsága az $x \,$ tengelytől

Mértékegysége

A másodrendű nyomaték SI egysége méter a negyedik hatványon (m⁴).

Különböző keresztmetszetek másodrendű nyomatéka (Lásd még Másodrendű nyomatékok listája más keresztmetszetekre.)

Téglalap keresztmetszet (x és y tengelyek a súlyponton mennek át)

$I_{x}=\frac{bh^3}{12}$

• $b \,$ = szélesség (x-irányban),
• $h \,$ = magasság (y-irányban)

$I_{y}=\frac{hb^3}{12}$

• $b \,$ = szélesség (x-irányban),
• $h \,$ = magasság (y-irányban)

Körkeresztmetszet

$I_0 = \frac{\pi r^4}{4} = \frac{\pi d^4}{64}$

• $r \,$ = sugár,
• $d \,$ = átmérő

Steiner-tétel

A Steiner-tétel segítségével egy síkidom másodrendű nyomatéka határozható meg tetszőleges tengelyre, ha a súlyponti, vele párhuzamos tengelyre ismert a másodrendű nyomaték és a tengelynek a súlyponti tengelytől való távolsága.

$I_z = I_{CG}+Ad^2\,$

• $I_z \,$ = másodrendű nyomaték a z-tengelyre,
• $I_{CG} \,$ = másodrendű nyomaték a z tengellyel párhuzamos súlyponti tengelyre, (egybeesik a semleges tengellyel),
• $A \,$ = a síkidom területe,
• $d \,$ = a két tengely közötti távolság

Összetett keresztmetszetek

Gyakran egyszerűbb egy síkidomot részekre bontani, egyenként kiszámítani saját súlyponti tengelyükre a másodrendű nyomatékot, majd a Steiner-tétel segítségével összegezni.

$I_{x}= \sum \left(y^{2}A +I_\mathrm{local}\right)$

$I_{y}= \sum \left(x^{2}A +I_\mathrm{local}\right)$

• $y \,$ = távolság az x-tengelytől
• $x \,$ = távolság az y-tengelytől
• $A \,$ = a rész területe
• $I_{local} \,$ a rész tehetetlenségi nyomatéka a megfelelő irányban (azaz $I_x \,$ illetve $I_y \,$).

"I-tartó" keresztmetszet

Az I-tartót vagy három téglalap összegeként vagy egy nagy téglalap és két kis téglalap különbségeként lehet számítani.

• $b \,$ = szélesség (x-irányban),
• $h \,$ = magasság (y-irányban)
• $t_w \,$ = a gerinc szélessége
• $h_1 \,$ = a két szalag távolsága

A következő képlet a nagy téglalapból kivonva a kis téglalapokat módszert használja. Az x-tengelyre vett másodrendű nyomaték:

$I_{x}=\frac{{bh^3}-2{{\frac{b-t_{w}}{2}}{h_{1}}^3}}{12}$

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomaték számításánál figyelembe kell venni, hogy az eltávolítandó részek másodrendű nyomatékát a Steiner-tétellel kell számítani:

$I_{y}=\frac{hb^3}{12}-2\left({\frac{h_{1}\left({\frac{b-t_{w}}{2}}\right)^3}{12}+Ax^2}\right)$

• $A=h_{1}{\frac{b-t_{w}}{2}}$ = a levonandó részek területe,
• $x={\frac{b+t_{w}}{4}}$ = a levonandó részek súlypontjának távolsága az y-tengelytől.

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomatékot egyszerűbben lehet kiszámítani, ha az I-tartót három téglalap összegére bontjuk, mert akkor mindegyik rész súlypontja a tengelyre esik:

$I_{y}=\frac{h_{1} {t_{w}}^3}{12} + 2 \frac{\frac{h-h_{1}}{2} b^3}{12}$

Centrifugális másodrendű nyomaték

Az I_xy centrifugális másodrendű nyomaték definíciós képlete:

$I_{xy} = -\int xy\, dA$

• $dA \,$ = elemi terület,
• $x \,$ = az elemi $dA \,$ terület távolsága az y tengelytől,
• $y \,$ = az elemi $dA \,$ terület távolsága az x tengelytől.

A centrifugális másodrendű nyomaték ismeretére akkor van szükség, ha aszimmetrikus keresztmetszetű rúd hajlításakor ébredő feszültségeket számítjuk. A másodrendű nyomatéktól eltérően a centrifugális másodrendű nyomaték értéke pozitív és negatív is lehet. Azokat az egymásra merőleges tengelyeket, melyekre a centrifugális tehetetlenségi nyomaték értéke zéró, a keresztmetszet főtengelyeinek hívjuk. Szimmetriatengelyek mindig főtengelyek.

A centrifugális másodrendű nyomaték használható az eredeti koordináta-rendszerhez képest elforgatott rendszerben vett másodrendű nyomatékok számításához:

${I_x}^* = \frac{I_{x} + I_{y}}{2} + \frac{I_{x} - I_{y}}{2} \cos(2 \varphi) + I_{xy} \sin(2 \phi)$

${I_y}^* = \frac{I_{x} + I_{y}}{2} - \frac{I_{x} - I_{y}}{2} \cos(2 \varphi) - I_{xy} \sin(2 \phi)$

${I_{xy}}^* = - \frac{I_{x} - I_{y}}{2} \sin(2 \varphi) + I_{xy} \cos(2 \varphi)$

• $\varphi\,$ = az elfordulás szöge
• $I_x \,$, $I_y \,$ és $I_z \,$ = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az eredeti koordináta-rendszerben,
• ${I_x}^* \,$, ${I_y}^* \,$ és ${I_{xy}}^* \,$ = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az elforgatott koordináta-rendszerben.

Az a $\varphi$ szög, mellyel el kell fordítani a koordináta-rendszert, hogy a centrifugális nyomaték zéró legyen:

$\varphi = \frac{1}{2} \arctan \frac{ 2 I_{xy}} {I_x-I_y}$

Ez a szög az, amit az eredeti koordináta-rendszer tengelyei a főtengelyekkel bezárnak.

Steiner-tétel centrifugális másodrendű nyomaték esetén

A centrifugális másodrendű nyomatékokra is létezik Steiner-tétel, ám ekkor a Steiner-tag más. Egy síkidom tetszőleges helyzetű centrifugális másodrendű nyomatékát megkapjuk, ha a velük párhuzamos súlyponti tengelypárra számított másodrendű nyomatékhoz hozzáadjuk az előjeles súlypont-koordinátáknak és a síkidom területének szorzatát.

$I_{xy} = I_{uv}+x_sy_sA\,$

• $I_{xy} \,$ = centrifugális másodrendű nyomaték a xy-tengelyre,
• $I_{uv} \,$ =centrifugális másodrendű nyomaték az xy tengelyekkel párhuzamos súlyponti tengelyekre,,
• $A \,$ = a síkidom területe,
• $x_s,y_s \,$ = síkidom súlypontjának koordinátái az xy koordinátarendszerben

Bizonyítás:

Mivel a koordináták közötti összefüggések:

$x=u+x_s\,$

$y=v+y_s\,$

így fel tudjuk írni az x,y tengelypárra számított centrifugális másodrendű nyomatékokat a következő alakban is

$I_{xy} = \int xy\, dA = \int (u+x_s)(v+y_s)\,dA= \,$

$\int uv\,dA+y_s\int u\, dA +x_s\int v\,dA+x_sy_s\int\,dA= \$

$I_{uv}+y_sS_v+x_sS_u+x_sy_sA ,\$

Ahol

• $S_u \,$ = u súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték
• $S_v \,$ =v súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték

Az u,v súlyponti tengelyekre a statikai (elsőrendű) nyomatékok zérus értékűek, ezért adódik, hogy

$I_{xy}=I_{uv}+x_sy_sA \,$ .

A hajlított tartó feszültségei

Az hajlított tartóban ébredő feszültség általános esetben:

$\sigma=-\frac{M_y I_x + M_x I_{xy}}{I_x I_y - {I_{xy}}^2 } x + \frac{M_x I_y + M_y I_{xy}}{I_x I_y - {I_{xy}}^2} y$

• $\sigma \,$ a hajlítófeszültség
• $x \,$ = az y-tengelytől mért távolság
• $y \,$ = az x-tengelytől mért távolság
• $M_y \,$ = hajlítónyomaték az y-tengely körül
• $M_x \,$ = hajlítónyomaték az x-tengely körül
• $I_x \,$ = másodrendű nyomaték az x-tengelyre
• $I_y \,$ = másodrendű nyomaték az y-tengelyre
• $I_{xy} \,$ = centrifugális nyomaték

Tehetetlenségi főtengelyek esetében

$\sigma=-\frac{M_y}{I_y} x + \frac{M_x}{I_x} y$

Ha csak egyik tengely körül ébred hajlítónyomaték:

${\sigma}= \frac{M y}{I_x}$

Lásd még

• Poláris másodrendű nyomaték
• Elsőrendű nyomaték
• Tehetetlenségi nyomaték
• Másodrendű nyomatékok listája

Referenciák

• Mechanics of solids and structures, Benham, P.P. ISBN 0273361910
• Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1981. ISBN 963 10 359 13

Külső hivatkozások

• Illusztrációk és példák (de.wikipedia.org)