Euklideszi reláció

A szaggatott nyíl behúzása szükséges az euklidesziség eléréséhez

Egy kétváltozós relációt akkor nevezünk euklideszi relációnak, ha a relációk mindig egyfajta háromszöget alkotnak; ha egy elem relációban áll két másikkal, akkor azok is (valamilyen irányú) relációban kell álljanak egymással.

Definíció

Az $A$ halmazon értelmezett $R$ reláció euklideszi, ha bármely $a,b,c\in A$ esetén valahányszor $aRb$ és $aRc$ egyszerre teljesül, mindannyiszor $bRc$ is teljesül.

Általában véve az elsőrendű logika nyelvén:

$R$ euklideszi $\iff \forall a\forall b\forall c((Rab\land Rac)\rightarrow Rbc)$

„	Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők.	”
– Eukleidész Elemek, i. m. 47. o.

Példák

• az egyenesek párhuzamossága (mert ha az $e$ egyenes párhuzamos az $f$ egyenessel, az $e$ egyenes pedig párhuzamos a $g$ egyenessel, akkor az $f$ egyenes szükségszerűen párhuzamos a $g$ egyenessel is),
• családban a (nem fél)testvér-reláció (mert a párhuzamossághoz hasonlóan, bár senki nem testvére magának, az ember testvérei testvérei egymásnak.)

Nem ilyen

• az emberek között a „fölmenő rokona” reláció (mert pl. egy személy fölmenő rokona az unokájának és a lányának is, azonban az unokája nem felmenője a lányának).
• a halmazok között a tartalmazási reláció,
• a pozitív egész számok között az oszthatóság (mert pl. $2$ osztja $4$-et és $6$-ot is, de $4$ nem osztja $6$-ot),
• az emberek között az „ismerik egymást” reláció (mert az ember nem minden ismerőse ismeri egymást).

További példák euklideszi relációkra

• minden ekvivalenciareláció, úgymint:
  • halmazokon az ekvivalencia, azaz számosságazonosság
  • egész számokon az azonos paritás, vagy általánosabban az azonos maradékosztályba tartozás (mivel ezek ekvivalenciarelációk),
  • egy sík vagy a tér egyenesein a párhuzamosság
  • a tér síkjain a párhuzamosság

Viszonya más relációkhoz

• Egy reláció euklideszi tulajdonsága és tranzitivitása bár hasonlónak tűnik, önmagában egyik sem következik a másikból.
• Egy szimmetrikus reláció már pontosan akkor euklideszi, ha tranzitív.
• Egy reflexív reláció ha euklideszi is, akkor tranzitív és szimmetrikus is, azaz ekvivalenciareláció.

Források

• Eukleidész. Elemek, Első könyv 1. axióma. Gondolat (1983)