Egyenletesen folytonos függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az egyenletesen folytonos függvények a folytonos függvények alcsoportját képzik és fontos szereppel bírnak a matematikai analízisben.

Bevezetés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen az f függvény folytonos az I intervallumban. Ez azt jelenti, hogy minden aI-hez és tetszőleges ε>0-hoz létezik δ>0 úgy, hogy

|f\left(x\right)-f\left(a\right)|<\varepsilon, ha x\in\left(a-\delta,a+\delta\right)\cap{I}.

Sok esetben meghatározhatjuk az a helyhez tartozó lehető legnagyobb δ-t, amellyel a fenti feltétel teljesül. Jelöljük ezt δ(a)-val. Ha ε>0 rögzített, akkor különböző a pontokhoz általában különböző δ(a) tartozik. Könnyű belátni például, hogy az f(x)=x² függvény esetében minél nagyobb |a| értéke, annál kisebb az a helyhez tartozó δ(a). Így a [0,1] intervallumban az a=1 helyhez tartozó δ(a) a legkisebb, ezért bármely a∈[0,1] helyen választható δ gyanánt az 1-hez tartozó δ(1). Ez más szóval azt jelenti, hogy minden a∈[0,1]-re

|f\left(x\right)-f\left(a\right)|<\varepsilon, ha |x-a|<\delta\left(1\right).

Ez az okoskodás persze általában nem működik. Mivel végtelen sok szám között nem mindig van legkisebb, ezért egy f:I→ℜ folytonos függvényhez - a fenti módszerrel - nem mindig találhatunk olyan δ-t, ami minden aI-re jó. De nem is mindig létezik ilyen δ. Az f(x)=1/x függvény esetében δ(a)→0, ha a→0, vagyis nem létezik olyan δ, amely a (0,1) intervallumban bármely a helyen jó lenne. A Heine-tétel szerint ez a jelenség nem fordulhat elő olyan függvények esetében, amelyek egy korlátos zárt intervallumban folytonosak: ilyen esetben kell, hogy létezzen az intervallum minden pontjában egy közös, jó δ. Ezt a tulajdonságot egyenletes folytonosságnak nevezzük.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az f függvény egyenletesen folytonos az I intervallumban, ha minden ε>0-hoz létezik egy (közös, azaz helytől független) δ>0, amelyre teljesül, hogy ha xo,x1I és |x1 - xo| < δ, akkor

|f(x_1)-f(x_o)|<\varepsilon.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]