Lipschitz-tulajdonság

Azt mondjuk, hogy az f valós-valós függvény teljesíti a Lipschitz-tulajdonságot (vagy Lipschitz-folytonos, vagy a matematikus argóban lipschitzes), ha létezik olyan L nemnegatív valós szám, hogy minden az f függvény értelmezési tartományában lévő x és y pontra fennáll az

| f(x) – f(y) | ≤ L$\cdot$| x – y |

egyenlőtlenség.

Lényegében ez azt jelenti, hogy a függvény görbéjének két tetszőleges pontjához húzott szelő nem lehet akármilyen nagy meredekségű, csak +L és -L közötti érték. A függvény tehát nem változhat akármilyen nagyot.

A differenciálegyenletek elméletében a Lipschits-folytonosság a központi feltétel a Picard–Lindelöf-tételhez, mely a kezdetiérték-probléma megoldásának egyértelmű létezését biztosítja. Egy speciális típusú lipschitzesség, a kontrakció (L < 1) tulajdonsága fontos szerepet játszik Banach fixponttételében. A Riemann-integrál elméletében az integrálfüggvény karakterisztikus tulajdonságai közül az egyik, hogy az integrálfüggvény Lipschitz-függvény.^[forrás?]

A Lipschitz-tulajdonság definiálható mind a normált, mind a metrikus terekben. A Lipschitz-függvények elsőrendű Hölder-függvények, így a Hölder-folytonosság a fogalom egy általánosításának tekinthető.

Tulajdonságok

Minden korlátos deriváltú, differenciálható függvény Lipschitz-függvény ( sup|f’| alkalmas Lipschitz-konstansnak).

Minden f Lipschitz-tulajdonságú függvény egyenletesen folytonos (így tehát folytonos is), hiszen tetszőleges ε pozitív számra a δ:=ε/L olyan, hogy ha |x-y|<δ, akkor:

| f( x ) – f( y ) | ≤ L| x – y| < L $\cdot$ ε / L = ε.

Visszafelé ez nem igaz. A [0,1] intervallumon értelmezett $\mbox{ }_{x\mapsto \sqrt{x}}$ függvény ugyanis egyenletesen folytonos Heine tétele értelmében, de nem lipschitzes, mert a deriváltja – így a szelők meredeksége – akármilyen nagy lehet.

Injektív minden bilipschitzes függvény, azaz olyan függvény, melyre teljesül, hogy létezik 1 ≤ L szám, amivel:

L^-1$\cdot$| x – y| ≤ | f( x ) – f( y ) | ≤ L$\cdot$| x – y|.

Hiszen ha x ≠ y, és f(x) mégis egyenlő f(y)-nal, akkor az egyenlőtlenség miatt L^-1$\cdot$| x – y| ≤ 0 ≤ L$\cdot$| x – y| és ezt csak az | x – y | = 0 tudja kielégíteni, ami ellentmondás.

Kompakt halmazon értelmezett lokálisan Lipschitz-tulajdonságú függvény (globálisan) Lipschitz-tulajdonságú. (Itt lokálisan lipschitzességen azt értjük, hogy minden pontnak van olyan környezete, ahol a függvény lipschitzes.)

Ha az f egy L Lipschitz-konstansú függvény a (metrikus-, normált-)tér egy részhalmazán van értelmezve, akkor f kiterjeszthető a teljes térre úgy, hogy a kiterjesztés még mindig L Lipschitz-konstansú legyen. Speciálisan az f értelmezési tartományának lezártjára is kiterjeszthető, ahogy az egyenletesen folytonos függvényekre vonatkozó hasonló tételben is ez történik.

Lebesgue tétele szerint minden intervallumon értelmezett valós-valós Lipschitz-függvény majdnem mindenhol differenciálható. Ennek egy általánosítása, hogy tetszőleges, nyílt halmazon értelmezett többváltozós, valós értékű függvény szintén majdnem mindenhol differenciálható – ez Rademacher tétele.

Irodalom

Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis 1., ELTE jegyzet

Külső hivatkozások

• PlanetMath: Lipschitz function
• MathWorld: Lipschitz Function
• Encyclopaedia of Mathematics: Lipschitz condition
• Juha Heinonen: Lectures on lipschitz analysis – pdf