Korlátos halmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízis és kapcsolódó területei korlátosnak neveznek egy halmazt, ha annak kiterjedése valamilyen értelemben véges.

Általánosan, de pontosan (értelmesen) topologikus módszerekkel lehet megfogalmazni. Egy elég általános definíció a következő:

Egy H részhalmaz korlátos egy (M, d) metrikus térben, ha a halmazt tartalmazza egy véges sugarú gömb. Vagy másképpen fogalmazva, ha létezik x \in M és r > 0 úgy, hogy minden h \in H-ra d(x, h) < r.

Ekkor a H halmaz átmérőjének a véges

\sup_{x,y\in H} d(x,y)

értéket nevezzük. Ha H zárt, akkor ez az érték felvétetik, azaz van olyan H-beli x és y pont, aminek a távolsága pontosan ennyi (más szóval, a szuprémum ilyenkor maximum).

M egy korlátos metrikus tér (vagy d egy korlátos metrika), ha M korlátos részhalmaza saját magának.

Számegyenes[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A valós számok egy H részhalmaza felülről korlátos, ha van olyan K valós szám, hogy minden x \in H esetén x \leq K.

A halmaz alulról korlátos, ha van olyan k, amelyre minden x \in H esetén x \geq k.

Egy valós számhalmaz korlátos, ha mind alulról, mind pedig felülről korlátos. Ez ekvivalens azzal, hogy a halmaz egy véges intervallum részhalmaza.

Sík[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A síkban korlátosnak nevezünk egy halmazt, ha lefedhető egy körlappal.

Tér[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A térben korlátos egy halmaz, ha részhalmaza egy gömbnek.