Heine-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Heine-tétel a matematikai analízisben, mind az intervallumon folytonos függvények elméletében, mind (általánosan a metrikus terek esetén) a kompakt halmazon folytonos függvények szempontjából fontos tétel. Azt mondja ki, hogy korlátos és zárt intervallumon (vagy kompakt halmazon) értelmezett folytonos függvény egyenletesen folytonos.

A tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Korlátos, zárt intervallumon értelmezett valós értékű folytonos függvény egyenletesen folytonos.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Bolzano–Weierstrass-tétellel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f: [a,b] \rightarrow R korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény. Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy f nem egyenletesen folytonos. Ekkor teljesül, hogy

(∃ ε > 0) (∀ δ > 0) (∃ x, y ∈ [a,b]) ( |x-y| < δ ⇒ |f(x) – f(y)| ≥ ε )

Rögzítve ilyen ε-t és véve egy (δn) pozitív tagokból álló nullához konvergáló sorozatot, tetszőleges n természetes számra az

{ (x,y) ∈ [a,b]×[a,b] | |x-y| < δn ∧ |f(x)-f(y)| ≥ ε }

nem üres. A kiválasztási axióma alapján ekkor létezik olyan (xn) és (yn) számsorozat, hogy minden n természetes számra

|xn-yn| < δn és |f(xn)-f(yn)| ≥ ε

A Bolzano–Weierstrass-tétel miatt ekkor a (xn) sorozatnak létezik konvergens részsorozata, hiszen a sorozat korlátos, lévén minden eleme, az intervallumnak is eleme. Legyen az indexsorozat σ, mellyel (xn) o σ konvergens. Hasonlóképpen (yn) o σ-nak is van konvergens részsorozata, legyen az ezt meghatározó indexsorozat τ. Ekkor ugyanúgy, ahogy a (xn) és (yn) sorozatok különbség abszolút értéke, úgy a különbsége is nullsorozat, amiből következik, hogy a (xn) o σ o τ =: (x'n) és (yn) o σ o τ =: (y'n) sorozatok különbsége is nullsorozat, vagyis ugyanaz a határértékük; jelöljük ezt u-val. A határérték, a rendezés és az abszolútérték-függvény tulajdonságaiból következik, hogy

| lim (f(x' n)) – lim (f(y' n)) | ≥ ε

holott a folytonosságra vonatkozó átviteli elvből az u-hoz konvergáló (x'n) és (y'n) sorozatok képsorozatainak ugyanoda (az f(u) függvényértékhez) kellene konvergálnia.

A Borel–Lebesgue-tétellel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Rögzítsünk egy tetszőleges ε > 0 számot. ε/2-höz minden egyes x ∈ [a,b] pont esetén f folytonossága miatt létezik olyan B(x,δx) nyílt környezet, hogy f(B(x,δx) ⊆ B(f(x),ε/2). A (B(x,δx/2))x∈[a,b] nyílt halmazokból álló halmazrendszer lefedi [a,b]-t, így a Borel–Lebesgue-tétel szerint létezik véges I indexhalmazú S:=(B(x,δx/2))x∈I részlefedés, mely még mindig lefedi [a,b]-t. Ekkor a

\delta := \min\limits_{x\in I}\{\frac{\delta_x}{2}\}

szám olyan, amilyen tulajdonságút az egyenletes folytonosság megkíván, ugyanis legyen u, v ∈ [a,b], hogy |u-v| < δ. Ekkor u-hoz létezik olyan xI, hogy u ∈ B( x , δx/2 ), így

|v-x|\leq |u-v|+|u-x|<\delta+\frac{\delta_x}{2}\leq\delta_x

ezért a folytonosság miatt

|f(u)-f(v)|\leq |f(u)-f(x)|+|f(v)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Heine tétele tetszőleges metrikus térben is igaz, a következő formában.

TételHeine tétele kompakt metrikus téren értelmezett folytonos függvényre – Ha az f: K \rightarrow N metrikus terek között ható, kompakt halmazon értelmezett függvény folytonos, akkor egyenletesen folytonos.

A bizonyítás ugyanúgy zajlik, mint az egydimenziós esetben.

Egy másik típusú általánosítást kapunk, ha az egyenletes folytonosságot a következőképpen értelmezzük. A metrikus terek között ható f: M \rightarrow N függvény egyenletes folytonos a H M halmazon, ha tetszőleges ε pozitív számra létezik δ pozitív szám, hogy minden (x,h) ∈ M × H-ra d(x,h) < δ esetén d(f(x),f(h)) < ε. Ekkor a tétel így szól:

Tétel – Ha az f: M \rightarrow N metrikus terek között ható függvény folytonos, akkor a KM kompakt halmazon egyenletesen folytonos.