Heine-tétel

A Heine-tétel a matematikai analízisben, mind az intervallumon folytonos függvények elméletében, mind (általánosan a metrikus terek esetén) a kompakt halmazon folytonos függvények szempontjából fontos tétel. Azt mondja ki, hogy korlátos és zárt intervallumon (vagy kompakt halmazon) értelmezett folytonos függvény egyenletesen folytonos.

A tétel

Korlátos, zárt intervallumon értelmezett valós értékű folytonos függvény egyenletesen folytonos.

Bizonyítás

A Bolzano–Weierstrass-tétellel

Legyen f: [a,b] $\rightarrow$ R korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény. Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy f nem egyenletesen folytonos. Ekkor teljesül, hogy

(∃ ε > 0) (∀ δ > 0) (∃ x, y ∈ [a,b]) ( |x-y| < δ ⇒ |f(x) – f(y)| ≥ ε )

Rögzítve ilyen ε-t és véve egy (δ_n) pozitív tagokból álló nullához konvergáló sorozatot, tetszőleges n természetes számra az

{ (x,y) ∈ [a,b]×[a,b] | |x-y| < δ_n ∧ |f(x)-f(y)| ≥ ε }

nem üres. A kiválasztási axióma alapján ekkor létezik olyan (x_n) és (y_n) számsorozat, hogy minden n természetes számra

|x_n-y_n| < δ_n és |f(x_n)-f(y_n)| ≥ ε

A Bolzano–Weierstrass-tétel miatt ekkor a (x_n) sorozatnak létezik konvergens részsorozata, hiszen a sorozat korlátos, lévén minden eleme, az intervallumnak is eleme. Legyen az indexsorozat σ, mellyel (x_n) o σ konvergens. Hasonlóképpen (y_n) o σ-nak is van konvergens részsorozata, legyen az ezt meghatározó indexsorozat τ. Ekkor ugyanúgy, ahogy a (x_n) és (y_n) sorozatok különbség abszolút értéke, úgy a különbsége is nullsorozat, amiből következik, hogy a (x_n) o σ o τ =: (x'_n) és (y_n) o σ o τ =: (y'_n) sorozatok különbsége is nullsorozat, vagyis ugyanaz a határértékük; jelöljük ezt u-val. A határérték, a rendezés és az abszolútérték-függvény tulajdonságaiból következik, hogy

| lim (f(x' _n)) – lim (f(y' _n)) | ≥ ε

holott a folytonosságra vonatkozó átviteli elvből az u-hoz konvergáló (x'_n) és (y'_n) sorozatok képsorozatainak ugyanoda (az f(u) függvényértékhez) kellene konvergálnia. ■

A Borel–Lebesgue-tétellel

Rögzítsünk egy tetszőleges ε > 0 számot. ε/2-höz minden egyes x ∈ [a,b] pont esetén f folytonossága miatt létezik olyan B(x,δ_x) nyílt környezet, hogy f(B(x,δ_x) ⊆ B(f(x),ε/2). A (B(x,δ_x/2))_x∈[a,b] nyílt halmazokból álló halmazrendszer lefedi [a,b]-t, így a Borel–Lebesgue-tétel szerint létezik véges $I$ indexhalmazú S:=(B(x,δ_x/2))_x∈$I$ részlefedés, mely még mindig lefedi [a,b]-t. Ekkor a

$\delta :=\min \limits _{x\in I}\{{\frac {\delta _{x}}{2}}\}$

szám olyan, amilyen tulajdonságút az egyenletes folytonosság megkíván, ugyanis legyen u, v ∈ [a,b], hogy |u-v| < δ. Ekkor u-hoz létezik olyan x ∈ $I$, hogy u ∈ B( x , δ_x/2 ), így

$|v-x|\leq |u-v|+|u-x|<\delta +{\frac {\delta _{x}}{2}}\leq \delta _{x}$

ezért a folytonosság miatt

$|f(u)-f(v)|\leq |f(u)-f(x)|+|f(v)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$■

Általánosítás

Heine tétele tetszőleges metrikus térben is igaz, a következő formában.

Tétel – Heine tétele kompakt metrikus téren értelmezett folytonos függvényre – Ha az f: K $\rightarrow$ N metrikus terek között ható, kompakt halmazon értelmezett függvény folytonos, akkor egyenletesen folytonos.

A bizonyítás ugyanúgy zajlik, mint az egydimenziós esetben.

Egy másik típusú általánosítást kapunk, ha az egyenletes folytonosságot a következőképpen értelmezzük. A metrikus terek között ható f: M $\rightarrow$ N függvény egyenletes folytonos a H ⊆ M halmazon, ha tetszőleges ε pozitív számra létezik δ pozitív szám, hogy minden (x,h) ∈ M × H-ra d(x,h) < δ esetén d(f(x),f(h)) < ε. Ekkor a tétel így szól:

Tétel – Ha az f: M $\rightarrow$ N metrikus terek között ható függvény folytonos, akkor a K ⊆ M kompakt halmazon egyenletesen folytonos.