A lap aktuális változatát látod, az utolsó szerkesztést 84.225.185.55(vitalap) végezte 2021. január 26., 19:06-kor. Ezen a webcímen mindig ezt a változatot fogod látni.(Apró módosítás)
Mivel det(A) ≠ 0, ezért Ainvertálható mátrix. Jelölje A inverzét A–1. Szorozzuk meg az Ax = b egyenlet mindkét oldalát balról A–1-zel, ekkor
ahol az adj(A) az A mátrix adjungáltját jelöli. Részletesen felírva az adjungáltat azt kapjuk, hogy
ahol az Aij az A mátrix i-edik sorához és j-edik oszlopához tartozó előjeles aldetermináns értéke. A fenti mátrixszorzást soronként elvégezve oda lyukadunk ki, hogy minden i-re
és a tört számlálójában éppen a Bi determinánsa szerepel az i. oszlopa szerint kifejtve.
Az triviális megoldás mellett további megoldások léteznek, de felkutatásukra a Cramer-szabály nem használható, más módszerek szükségesek a kiszámításukhoz, például az LU felbontás
Egy triviális megoldás van, az a Cramer-szabály használható, de felesleges
Ha azaz az egyenletrendszer inhomogén
A Cramer-szabály nem használható, de lehetséges, hogy vannak megoldások. A Kronecker–Capelli-tétel szerint ellenőrizni kell, hogy az eredeti és a kibővített mátrix rangja megegyezik-e. Ha van megoldás, akkor az a rangok Gauss-eliminációval való meghatározása során előáll.
Egy megoldás van és megtalálására a Cramer-szabály használható
Ha kevesebb egyenletünk van, mint ahány ismeretlen, akkor nem alkalmazható.
Nagy n-ek esetén a determinánsok kiszámolása hosszadalmas, ezért más megoldási módszereket használnak.