Adjungált (mátrixinvertálás)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ez a szócikk a mátrixok inverzének kiszámításánál szereplő adjungált mennyiségről szól, vagyis a „klasszikus adjungáltról”. A komplex lineáris algebra adjungáltfogalma, vagyis a konjugált transzponált az adjungált (komplex algebra) szócikkben található.

A matematikában, közelebbről a lineáris algebrában egy négyzetes mátrix adjungáltjának nevezzük a mátrix előjeles aldeterminánsaiból alkotott mátrix transzponáltját. Az adjungálás tehát a négyzetes mátrixokon értelmezett operáció, mely mátrixhoz mátrixot rendel. Legfontosabb alkalmazása, hogy segítségével tömör formában fejezhető ki egy invertálható mátrix inverze.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy A kvadratikus (négyzetes, azaz n×n-es) mátrix adjungáltján a következő eljárással elkészített mátrixot értjük:

  1. felírjuk az A mátrix aldeterminánsmátrixát vagy minormátrixát, vagyis azt az Amin mátrixot, melynek i,j-edik eleme annak a mátrixnak a determinánsa, melyet az A i-edik sorának és j-edik oszlopának törlésével keletkezik;
  2. az Amin mátrix elemeinek előjelét a „sakktáblaszabály” szerint megváltoztatjuk, azaz az i,j-edik elemnek a (−1)i+j értéket adjuk, ekkor nyerjük az előjeles aldeterminánsmátrixot, azaz a (Amin)± mátrixot;
  3. majd ezt a mátrixot transzponáljuk, azaz elemeit a főátlóra tükrözzük: ((Amin)±)T

Így kapjuk az

\mathrm{adj}(A)\,-val

jelölt adjungált mátrixot.

Az adjungált mátrix definíciójának értelmét az inverz mátrix kiszámítására vonatkozó tétel bizonyításában találhatjuk.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen A a következő négyzetes mátrix:

A:=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0\\
2 & -1 & 1\\
-1 & 0 & -3
\end{bmatrix}

Aldetermináns-mátrix[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Készítsük el az aldeterminánsmátrixot, azaz a minormátrixot! Az Amin mátrix elemeit – a \mbox{ }_{\blacksquare} helyen álló elemet – tehát úgy kapjuk az A elemeiből, hogy az i-edik sort és j-edik oszlopot töröljük (ezek a \mbox{ }_{\Box} helyek) és a maradék mátrix determinánsát számítjuk ki. Az aldetermináns mátrix elemei a következő determinánsok lesznek:

A^{min}=\begin{bmatrix}
\begin{vmatrix}
\blacksquare & \Box & \Box \\
\Box & -1 & 1 \\
\Box & 0 & -3 \\
\end{vmatrix}&
\begin{vmatrix}
 \Box & \blacksquare & \Box \\
 2 & \Box & 1 \\
 -1 &\Box & -3 \\
\end{vmatrix}&
\begin{vmatrix}
 \Box & \Box& \blacksquare \\
 2 & -1& \Box \\
 -1 &0& \Box \\
\end{vmatrix}\\\\
\begin{vmatrix}
\Box & -2 & 0 \\
\blacksquare & \Box & \Box \\
\Box & 0 & -3 \\
\end{vmatrix}&
\begin{vmatrix}
 1 & \Box & 0 \\
 \Box & \blacksquare & \Box \\
 -1 &\Box & -3 \\
\end{vmatrix}&
\begin{vmatrix}
 1 & -2& \Box \\
\Box & \Box& \blacksquare \\
 -1 &0&\Box \\
\end{vmatrix}\\\\
\begin{vmatrix}
\Box & -2 & \;\;0 \\
\Box & -1 & \;\;1 \\
\blacksquare & \Box & \Box \\
\end{vmatrix}&
\begin{vmatrix}
 \;\;1 & \Box & \;\;0 \\
\;\;2 &\Box & \;\;1 \\
 \Box & \blacksquare & \Box \\
\end{vmatrix}&
\begin{vmatrix}
 1\;\; & -2& \Box \\
2\;\; &-1&\Box \\
 \Box & \Box& \blacksquare \\
\end{vmatrix}\\

\end{bmatrix}

Tehát a 2×2-es determinánsok kiszámítása után:

A^{min}=\begin{bmatrix}
3 & -5 & -1\\
6 & -3 & -2\\
-2 & 1 & 3
\end{bmatrix}

Előjeles aldetermináns-mátrix[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A „sakktáblaszabály” alapján a következő formális mátrix mutatja, hogy hol kell megváltoztatni az előjelet (–) és hol nem (+)

\begin{bmatrix}
+&-&+&\dots&\pm\\
-&+&-& &\mp\\
+&-&+&\dots&\pm\\
\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\
\pm&\mp&\pm&\dots&+
\end{bmatrix}

Tehát

(A^{min})^{\pm}=\begin{bmatrix}
3 & 5 & -1\\
-6 & -3 & 2\\
-2 & -1 & 3
\end{bmatrix}

Transzponált[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A transzponálás, a mátrix elemeinek a főátlóra történő tükrözése – az első sorból lesz az első oszlop, a második sorból a második oszlop, … Tetszőleges kvadratikus mátrixnál tehát ez az operáció:

\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}& &a_{2n}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\
\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots&a_{nn}
\end{bmatrix}\;\;\longrightarrow\;\;
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{21}&a_{31}&\dots&a_{n1}\\
a_{12}&a_{22}&a_{32}& &a_{n2}\\
a_{13}&a_{23}&a_{33}&\dots&a_{n3}\\
\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{1n}&a_{2n}&a_{3n}&\dots&a_{nn}
\end{bmatrix}

Így az adjungált:

\mathrm{adj}A=((A^{min})^{\pm})^{T}=\begin{bmatrix}
3 & -6 &-2 \\
5 & -3 & -1\\
-1 & 2 & 3
\end{bmatrix}

Inverz mátrix képlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy invertálható A mátrix esetén az A−1 inverz a következőképpen írható fel:

A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\,A}{\mathrm{det}\,A}

ahol a det A számmal való osztás az A invertálhatósága miatt elvégezhető, hiszen ekkor ez nem nulla.

Bizonyítás. Elég belátni, hogy

A \cdot adj(A) = det(A)\cdotI,

ahol I az egységmátrix. Ha az előjeles aldetermináns-mátrix értékeit ±Mji-vel jelöljük (a minormátrix megfelelő előjellel ellátott transzponáltja), akkor a mátrixszorzat szokásos táblázatos ábrázolásában a következő egyenlőséget kell igazolnunk:

\begin{matrix}
&
\begin{bmatrix}
+M_{11}&-M_{21}&+M_{31}&\dots&\pm M_{n1}\\
-M_{12}&+M_{22}&-M_{32}& &\mp M_{n2}\\
+M_{13}&-M_{23}&+M_{33}&\dots&\pm M_{n3}\\
\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\
\pm M_{1n}&\mp M_{2n}&\pm M_{3n}&\dots&+M_{nn}
\end{bmatrix}\\\\
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}& &a_{2n}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\
\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots&a_{nn}
\end{bmatrix}
&
\begin{bmatrix}
\mathrm{det}\,A\; &0&0&\dots&0\\
0&\mathrm{det}\,A\;&0& &0\\
0&0&\mathrm{det}\,A\;&\dots&0\\
\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\dots&\mathrm{det}\,A\;
\end{bmatrix}
\end{matrix}

Az adjungált pont úgy lett megszerkesztve, hogy pontosan illeszkedjék a determinánsok kifejtési tételéhez (illetve a ferde kifejtési tételhez). Ha az A i-edik (ai1,ai2,ai3,…,ain) sorát az adjungált i-edik ((-1)i+1Mi1,(-1)i+2Mi2,(-1)i+3Mi3,…,(-1)i+nMin) oszlopával szorzunk, akkor pont azokat az elemeket kell egymással összeszorozni, amely szorzatoknak az összege a kifejetési tételben a determinánst adja. Ezért a szorzat i,i-edik eleme, azaz tetszőleges főátlóbeli elem maga az A determinánsa lesz. A ferde kifejtési tétel szerint a determinánst úgy fejtve ki, hogy egy sort a nem hozzá tartozó „aldetermináns-oszloppal” szorzunk be, mindig 0-t kapunk, azaz a főátlón kívül csupa 0 lesz.

Adjungált-képlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Cayley–Hamilton-tétel következményeként egy mátrix gyöke saját karakterisztikus polinomjának. Ezekben a polinomokban a konstans tag mindig a mátrix determinánsa, így (invertálható esetben) az inverzmátrixszal történő beszorzás után, ebből a konstans tagból a det(A)\cdotA−1 = adj(A) mátrixot kapjuk. A karakterisztikus egyenlet változójának helyére az A mátrixot helyettesítve és az inverzzel beszorozva tehát kifejezhető az adjungált. Sőt, ez az így nyert formula szinguláris mátrix esetén is fennáll. Ez a formula a 2×2-es esetben:

\mathrm{adj}\,A=-A+\mathrm{trace}(A)\cdot I ,

a 3×3-as esetben pedig

\mathrm{adj}\,A=-A^2+\mathrm{trace}(\mathrm{adj}\,A)\cdot A-\mathrm{trace}(A)\cdot I.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\mathrm{adj}(I) = I\,
\mathrm{adj}(AB) = \mathrm{adj}(B)\,\mathrm{adj}(A)\,
\mathrm{adj}(A^T) = \mathrm{adj}(A)^T\,
\det(\mathrm{adj}(A)) = \det(A)^{n-1}\,

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]