Wallace–Bolyai–Gerwien-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Wallace–Bolyai–Gerwien-tétel azt mondja ki, hogy az egyenlő területű sokszögek átdarabolhatók egymásba. A tétel megalkotása William Wallace, Bolyai Farkas és a Paul Gerwein matematikusok nevéhez fűződik, akik egymástól függetlenül jutottak hasonló eredményre.

Bizonyítása[szerkesztés]

A bizonyítás konstruktív: nem használja a kiválasztási axiómát.

A tétel több lépésben bizonyítható.

1. Háromszög átdarabolható téglalappá. Lépései: A legnagyobb oldallal párhuzamos középvonallal egy kis háromszöget vágunk le, és ezt a középvonalra merőleges magasságvonalával vágjuk ketté. A kapott kis háromszögek a trapézt téglalappá egészítik ki.

2. Két, egyenlő alapú és egyenlő magasságú paralelogramma átdarabolható egymásba. Tegyük fel, hogy az és az paralelogrammák az egyenes ugyanazon oldalán fekszenek. Feltehető, hogy az egyik nem téglalap, különben egybevágók, és kész a bizonyítás.

Ha a szakaszon helyezkedik el, akkor az és a háromszögek egybevágók, ezért az trapézt ezek segítségével lehet kiegészíteni az egyik, vagy a másik paralelogrammára.

Ha nincs a szakaszon, akkor legyen az és a szakasz metszéspontja . és távolságával párhuzamosokat húzunk -hez, először -n át, majd egészen addig, amíg túl nem lépjük a egyenest. A kapott kis paralelogrammákat tovább daraboljuk egyik átlójuk behúzásával, mégpedig az -ben levőkét a -gyel, és az -ben fekvőkét az -vel párhuzamos átlójukkal. Ezzel a kis paralelogrammákat egybevágó háromszögekké vágtuk fel, az utolsó lépésben kapottakat kivéve, ahol is egy-egy, páronként egybevágó háromszög és trapéz keletkezik.

3. Minden téglalap átdarabolható olyan téglalappá, amelynek az egyik oldala adott. Az téglalapot így daraboljuk át úgy, hogy egyik oldala hosszú legyen:

Ha rövidebb a téglalap kisebb oldalánál (most ez legyen ), akkor a téglalapot az egyik oldalával párhuzamosan felcsíkozzuk, és a kapott kis téglalapokat egymás mellé tesszük.

Tegyük fel, hogy hosszabb a téglalap rövidebb oldalánál. Ekkor van egy és pont a egyenesen, hogy . Ezért az és az olyan paralelogrammák, amelyeknek közös az alapja, és egyenlő a magassága, így 2. szerint átdarabolhatók egymásba, tehát is átdarabolható az oldalú, alapú téglalappá, aminek a másik két csúcsa a egyenesre esik.

4. A tétel bizonyítása. Az és az egyenlő területű sokszögeket háromszögekre vágjuk. 1. szerint ezeket a háromszögeket téglalapokká daraboljuk át, és a kapott téglalapokat 3. szerint adott oldalhosszú téglalappá. Ezeket egymás mellé helyezve két egybevágó téglalapot kapunk, amik nyilván egymásba átdarabolhatók.

Általánosítása[szerkesztés]

A kérdés általánosabban is feltehető: átdarabolható-e két, egyenlő térfogatú poliéder egymásba? Ez Hilbert harmadik problémájaként vált ismertté. Max Dehn látta be először 1900-ban, hogy ez nincs így. Például egy kocka és egy gúla nem darabolható át egymásba, még akkor sem, ha térfogatuk megegyezik.

Források[szerkesztés]