Tizedestört

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A tizedestört a valós számok (ℝ), főképp a nem egész számok egyik kanonikus (azaz gyakran alkalmazott és minden szám esetében majdnem teljesen egyértelmű) felírása.

Bebizonyítható (például a Cantor-axióma felhasználásával), hogy tetszőleges r valós szám felírható a következő formában:

,

avagy

,

ahol s értéke 0 vagy +1 vagy -1 lehet (ez az r szám előjele); m egy természetes szám; a z és t sorozatok tagjai a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} halmazból valók; zm pedig nem 0, ha m > 0.

A zi és ti számokat a szám számjegyeinek nevezzük (mégpedig tizedesjegyeinek – ugyanis más számrendszerekben is lehetséges a törtszámok felírása). A 10i·zi szorzatok összege |r| egészrésze, a többi, tehát a 10-i·ti szorzatok végtelen összege pedig |r| törtrésze.

Korlátozott egyértelműsége[szerkesztés]

A fenti forma bármilyen s, z és t jegyek esetén kijelöl egyetlen valós számot, ám ez fordítva nem igaz, azaz egy számhoz több ilyen felírás is tartozhat. Azokat a nem nulla racionális számokat, amelyeknek egyszerűsített törtfelírásában a nevező a 2-n és az 5-ön (a 10 prímosztóin) kívül más prímszámmal nem osztható, kétféleképpen is felírhatjuk. A tizedestört egyik lehetséges formájában egy bizonyos helyiérték után csupa 0, a másik formájában csupa 9-es áll. Például:

Ha megköveteljük, hogy ne lehessen valamely helyiérték után csupa 9-es a felírásban, akkor már minden szám esetén egyértelmű lesz a felírás. Az ilyen racionális számok felírásában tehát valamely helyiérték után csupa 0 szerepel, amit már nem szokás kiírni. Az ilyen tizedestörtet pedig véges tizedestörtnek nevezik. Ha mégis kiírnak valahány 0-t a tizedestört végére, akkor az az érték pontosságát mutatja.

Ha egy bizonyos helyiérték után a tizedesjegyek periodikusan, azaz szakaszosan ismétlődnek, akkor szakaszosan ismétlődő végtelen tizedestörtről, egyébként pedig nem szakaszos vagy aperiodikus tizedestörtről beszélünk.

A véges valamint a végtelen szakaszosan ismétlődő tizedestörtek a racionális számoknak, míg a végtelen, szakaszosan nem ismétlődő tizedestörtek az irracionális számoknak felelnek meg.

Példák[szerkesztés]

Néhány nemnegatív szám tizedes tört alakja (a * azt jelzi, hogy a tizedestört a megfelelő küszöbtől kezdve periodikus, periódusa a *-ok közti szakasz, a véges tizedes törtek *0* periódusait nem szoktuk kiírni, sem pedig a 0 törtrészű számok törtrészét):

szám rövid tizedes tört alak teljes tizedes tört alak
0 0 0,*0*
1 1 1,*0*
10 10 10,*0*
1/10 0,1 0,1*0*
1/100 0,01 0,01*0*
1/1000 0,001 0,001*0*
1/2 0,5 0,5*0*
1/4 0,25 0,25*0*
1/8 0,125 0,125*0*
1/3 0,33… 0,*3*
2/3 0,66… 0,*6*
1/5 = 2/10 0,2 0,2*0*
1/6 0,166… 0,1*6*
5/7 0,714285… 0,*714285*
π 3,141592… 3,141592…

Műveletek tizedestörtekkel[szerkesztés]

Véges tizedes törtekkel ugyanúgy lehet számolni, mint az egészekkel, egyedül a tizedesvessző helyére kell ügyelni. A végtelen (akár periodikus) tizedestört alakokkal való számolás azonban már bonyolultabb, ezzel a határértékszámítást felhasználva a matematikai analízis sorelmélet nevű része foglalkozik. A végtelen tizedestörtek ugyanis tekinthetők végtelen sorozatok határértékének.

Számolás végtelen konvergens sorozatokkal[szerkesztés]

Szorzás. Legyen an és bn két konvergens sorozat, jelölje ezek határértékét rendre α és β. Ekkor anbn is konvergál, mégpedig éppen αβ-hoz.

Bizonyítás: Meg kell mutatnunk, hogy akármilyen kicsi lehet.

Átalakítjuk egy kicsit az képletet:

A háromszög-egyenlőtlenséggel:

Legyen ε tetszőleges pozitív szám, r pedig nagyobb |β|-nál és az |an| sorozat felső korlátjánál is. (Vagyis r > |β| és r > |an|, minden n-re. Minthogy an konvergens, ilyen r létezik és pozitív.)

an konvergál α-hoz, ezért van olyan n1, hogy minden n1-nél nagyobb n-re .

Hasonlóan, bn konvergál β-hoz, ezért van olyan n2, hogy minden n2-nél nagyobb n-re .

Minden olyan n-re, amely n1-nél és n2-nél is nagyobb:

Ez pedig éppen azt jelenti, amit bizonyítani akartunk, vagyis hogy a sorozatok elemenként vett szorzatának határértéke a határértékek szorzata.

A többi művelet hasonlóan bizonyítható.

Eszerint lehet úgy közelíteni a számítások eredményét, hogy a két közelítő sorozattal számolunk, és a kapott sorozatnak vesszük a határértékét. Bizonyos esetekben nem kell végtelen sorozatokat használni; ha van képlet a végtelen sorozatokra, akkor a számolásnak a pontos eredménye is megkapható.

A végtelen aktualitása[szerkesztés]

A végtelen tizedestörtekkel való számolás definíciója felveti a végtelen aktualitásának kérdését. Ez egy bonyolult metamatematikai kérdés, ami azt feszegeti, hogy a végtelen sok lépésben megkonstruált matematikai objektumok valóban létezőknek tekinthetők-e, vagy csak a konstrukciójuk létezik. Általában az axiómák aktuálisnak veszik a végtelent, de vannak alternatív matematikai rendszerek, amik másként állnak ehhez a kérdéshez. Azonban, amennyiben nem tekintjük aktuálisnak a végtelent, nemcsak hogy nem aktuálisak a műveletek, hanem maguk a végtelen tizedestörtek sem azok.