Hasznossági függvény

Konkáv egyváltozós hasznossági függvény

A hasznossági függvény a közgazdaságtan számos területén, különösen a mikroökonómiai fogyasztáselméletben gyakran használatos függvénytípus. Célja, hogy a gazdaság egy szereplőjének – vagy bizonyos esetekben a társadalom egészének – meghatározott javakhoz kapcsolódó preferenciáit matematikai eszközökkel modellezze.

A függvény változóinak száma megegyezik a vizsgált javak számával. Egy n változós hasznossági függvény általános alakban így írható fel:

$U(x_{1},x_{2},...,x_{n})\,$

Többnyire feltesszük, hogy a változók értékei a nemnegatív valós számok halmazának elemei, a függvényérték viszont bármilyen – akár negatív – valós szám lehet.

Általános feltevések

A hasznossági függvénytől minden esetben azt várjuk el, hogy – kicsit „pongyolán” fogalmazva – minél nagyobb a szóban forgó személy vagy a társadalom hasznossága, értéke annál nagyobb legyen, és fordítva: kisebb hasznossághoz kisebb U érték tartozzon; közömbös, „azonos hasznosságú” jószágkombinációkhoz tartozó függvényérték pedig legyen azonos. Mindezek megvalósulásához az alábbi két feltétel teljesülése szükséges:

• Ha az $(x_{1},x_{2},...,x_{n})\,$ jószágkombináció szigorúan preferált $(y_{1},y_{2},...,y_{n})\,$-hez képest, akkor $U(x_{1},x_{2},...,x_{n})>U(y_{1},y_{2},...,y_{n})\,$.
• Ha az $(x_{1},x_{2},...,x_{n})\,$ és az $(y_{1},y_{2},...,y_{n})\,$ jószágkombinációk közömbösek, akkor $U(x_{1},x_{2},...,x_{n})=U(y_{1},y_{2},...,y_{n})\,$.

Továbbá szükséges még, hogy a vizsgált személy vagy csoport preferenciái megfeleljenek a preferenciarendezés feltevéseinek.

Speciális feltevések

Gyakori eset, hogy a hasznossági függvényekre vonatkozóan további három feltevést fogalmazunk meg. Ezek a következők:

• Differenciálhatóság: a hasznossági függvénynek létezik első- és másodrendű parciális deriváltja minden változója szerint.
• Monotonitás (pontosabban monoton növekedés): a hasznossági függvény bármely változója szerinti elsőrendű parciális deriváltja nagyobb, mint 0. Ez tulajdonképpen azt jelenti, hogy az összes általunk vizsgált jószág hasznos jószág: ha többet fogyasztunk belőlük, az nagyobb hasznosságot eredményez.
• Konkavitás: a hasznossági függvény bármely változója szerinti másodrendű parciális deriváltja negatív (néha a 0-t is megengedjük). Közgazdasági szempontból ezt a feltevést úgy értelmezhetjük, hogy a vizsgált személy(ek) az átlagot részesíti(k) előnyben a szélsőséggel szemben. (Például 1 almát és 1 csokoládét szívesebben fogyasztanak, mint csak 2 almát vagy csak 2 csokit.)

Kardinális és ordinális hasznossági függvény

A hasznossági függvénnyel kapcsolatos általános feltevések csak a különböző jószágkombinációkhoz tartozó U értékek egymáshoz való viszonyát szabályozzák; maguk a konkrét függvényértékek nem feltétlenül bírnak jelentőséggel. Ha mégis, akkor a hasznossági függvényt kardinálisnak nevezzük: ez főként akkor fordul elő, ha a függvény lehetséges értékei pénzösszegeket reprezentálnak, mint például egy vállalat profitfüggvénye esetében.

Más esetekben ordinális hasznossági függvényről beszélhetünk. Ekkor a hasznossági függvénnyel bármely olyan transzformációt elvégezhetünk, amely nem változtat a fenti feltételek teljesülésén (például minden U értéket megszorozhatunk kettővel, vagy vehetjük az ötödik hatványukat); az új hasznossági függvény pedig éppen olyan jól írja le a vizsgált preferenciákat, mint a megelőző.

A határhaszon

Az i-edik jószág határhaszna a hasznossági függvény i-edik változója szerinti parciális deriváltjával egyenlő. A határhaszon jele az angol marginal utility (határhaszon) kifejezésből eredően MU.

Pontatlanul, de szemléletesen fogalmazva a határhaszon azt mutatja meg, hogy mennyivel változik meg a hasznosság, ha az egyik jószág mennyiségét egy egységgel növeljük.

A határhaszon alapvető fontosságú fogalom a mikroökonómiában: ez lesz ugyanis az a maximális érték, amit a fogyasztó a vizsgált jószág egy pótlólagos egységéért még hajlandó megfizetni. A jószág keresleti görbéje valójában a különböző mennyiségekhez tartozó határhasznok görbéje. (Egészen pontosan: a határhaszon egy konstans taggal van megszorozva.) Erre a lényeges összefüggésre a neoklasszikus közgazdaságtan képviselői jöttek rá elsőként a 19. század végén.

Ha elfogadjuk a hasznossági függvény konkavitására vonatkozó speciális feltevést, az egyben azt is eredményezi, hogy a vizsgált javak határhaszna a fogyasztott mennyiség csökkenő függvénye lesz. Ez a megállapítás Gossen I. törvényeként is ismert.

Kétváltozós hasznossági függvények

Példa közömbösségi görbékre

Az egyszerűbb közgazdasági modellekben nagyon gyakori a mindössze két változóval rendelkező hasznossági függvények használata. Ebben az esetben több speciális fogalom vezethető be, mint például:

• Közömbösségi görbék: a hasznossági függvény szintvonalai. Minden egyes közömbösségi görbéhez egy konkrét U érték tartozik. Ha a lehetséges (x₁, x₂) jószágkombinációkat egy derékszögű koordináta-rendszer első síknegyedében, az úgynevezett jószágtérben ábrázoljuk, a közömbösségi görbék azokat a jószágkombinációkat foglalják magukba, amelyekhez tartozó hasznosság azonos, vagyis amely jószágkombinációk egymással közömbösek.
• Helyettesítési határarány (MRS): a közömbösségi görbék meredeksége. A helyettesítési határarány a két jószág közötti átválthatóság mutatószáma: megmutatja, hogy az egyikük mennyiségének egységnyi növelését a másik jószág mennyiségének mekkora csökkentése, illetve – ritkábban – növelése kell hogy ellensúlyozza, ha azt akarjuk, hogy U értéke ne változzon.