„Ötödfokú egyenlet” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a ISBN/PMID link(ek) sablonba burkolása MediaWiki RfC alapján |
|||
52. sor: | 52. sor: | ||
== Források == |
== Források == |
||
* Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", ''[[Olav Arnfinn Laudal]], [[Ragni Piene]], The Legacy of Niels Henrik Abel'', pp. 207–225, Berlin, 2004,. {{ISBN|3-5404-3826-2}}. |
* Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", ''[[Olav Arnfinn Laudal]], [[Ragni Piene]], The Legacy of Niels Henrik Abel'', pp. 207–225, Berlin, 2004,. {{ISBN|3-5404-3826-2}}. |
||
== További információk == |
|||
* [https://youproof.hu/masodfoku-egyenlet-megoldokeplet-gyokkeplet-galois-elmelet-testbovites-csoport-geometriai-szerkeszthetoseg A megalázott géniusz, YOUPROOF] |
|||
{{Portál|matematika}} |
{{Portál|matematika}} |
A lap jelenlegi, 2020. december 17., 23:25-kori változata
A matematikában az ötödfokú egyenlet egy polinom egyenlet, aminek a foka 5. Általános alakja:
ahol egy test elemei, általában a racionális számok, a valós számok vagy a komplex számok elemei, valamint .
Ötödfokú egyenlet gyökeinek meghatározása[szerkesztés]
Egy polinom gyökeinek meghatározása — azon értékek, amelyek teljesítik az egyenletet — racionális együtthatók esetében kiemelkedő matematikai probléma volt.
Lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök racionálisak, irracionálisak, valósak vagy komplexek; vannak megoldóképleteik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az -edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az Abel–Ruffini-tétel, amelyet először 1824-ben publikáltak mint az algebrai csoportelmélet egyik első alkalmazását. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre, ami nem fejezhető így ki: . Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van.
A gyakorlatban polinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges, és más numerikus megoldó módszerek, mint például a Laguerre-módszer vagy a Jenkins–Traub algoritmus valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd- vagy magasabb fokú egyenletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz, és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket.
Megoldható ötödfokú egyenletek[szerkesztés]
Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például felírható mint . Más ötödfokú egyenlet, mint például a nem fejezhető ki ilyen alakban. Évariste Galois kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinomegyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a Galois-elmélet területét. Ezeket az eljárásokat először John Stuart Glashan, George Paxton Young és Carl Runge alkalmazta 1885-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a forrásokban). Azt találták, hogy bármely irreducibilis ötödfokú polinom racionális együtthatókkal Bring-Jerrard formában,
gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú:
- ,
ahol és racionálisak.
1994-ben, Blair Spearman és Kenneth S. Williams egy alternatív kritériumot talált,
- .
A kapcsolat az 1885-ös és az 1994-es parametrizáció között egyszerűen látható, ha a következőt definiáljuk:
- ,
ahol
- .
Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet
racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének:
valamely racionális -ra.
Mivel a Tschirnhaus-transzformációk megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal.
Források[szerkesztés]
- Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-5404-3826-2.