„Fixpont” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
FoBe (vitalap | szerkesztései) a tételek helyesírása |
aNincs szerkesztési összefoglaló |
||
4. sor: | 4. sor: | ||
== Definíció == |
== Definíció == |
||
Legyen <math>\phi : X\rightarrow |
Legyen <math>\phi : X\rightarrow Y</math> egy leképezés, és legyen <math>x \in X</math>. Azt mondjuk, hogy <math>x</math> fixpontja <math>\phi</math> -nek, ha <math>\phi (x)=x</math>. |
||
== Példák == |
== Példák == |
A lap 2018. augusztus 17., 14:42-kori változata
A matematikában egy leképezés fixpontjának nevezünk egy olyan pontot, amelyet a leképezés helyben hagy. Egy leképezésnek lehet nulla, egy, véges sok, vagy végtelen sok fixpontja. Ha egy leképezés értelmezési tartományának minden pontja fixpont, akkor a leképezést identikus leképezésnek, vagy identitásnak hívjuk.
Definíció
Legyen egy leképezés, és legyen . Azt mondjuk, hogy fixpontja -nek, ha .
Példák
- A sík egy e egyenesre való tükrözésének fixpontja e valamennyi pontja.
- A sík egy nullától különböző v vektorral való eltolásának nincs fixpontja.
- A valós számokon értelmezett függvénynek fixpontja a 0 és az 1, hiszen és .
- Jelölje D a végtelenszer differenciálható valós-valós függvények halmazán értelmezett differenciáloperátort, amely minden függvényt a deriváltjára képez le. Akkor D-nek fixpontja az függvény.
Fixpontokkal kapcsolatos nevezetes tételek
- Brouwer fixponttétele azt mondja ki, hogy -ben a zárt egységgömb minden önmagára vett folytonos leképezésének van fixpontja.
- Schauder fixponttétele szerint minden olyan leképezésnek van fixpontja, ami egy véges dimenziós Banach-tér kompakt, konvex részhalmazát önmagába képezi.
- Banach fixponttétele azt állítja, hogy egy teljes metrikus tér kontrakciójának, távolságot nem növelő leképezésének van fixpontja.
A fixpontiteráció:
a Banach-fixponttételen alapul.
- Minden olyan hasonlóságnak, ami nem egybevágóság, van fixpontja.