Lineáris leképezés

Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor vagy lineáris transzformáció) a matematikában, közelebbről a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény (szakszóval, vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha

• két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
• egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.

Leggyakrabban a valós, a komplex vagy a kvaternió test feletti operátorokról van szó.

A geometria szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan affin leképezések (például forgatás, nyújtás, merőleges affinitás), melyeknek van fixpontja. Algebrai szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek kategóriájában az objektumok közti morfizmus. Az analízisben szintén vannak alkalmazásai, hiszen a Hilbert-terek közt ható függvények is lineáris operátorok.

Linearitás

Ha tehát V és U a T test feletti vektortér, akkor az ${\mbox{ }}_{\mathcal {A}}$: V $\rightarrow$ U leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v₁, v₂ ∈ V vektorra illetve λ ∈ T elemre és v ∈ V vektorra:

${\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})={\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{1})+{\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{2})$ additivitás

${\mathcal {A}}(\lambda \mathbf {v} )=\lambda {\mathcal {A}}(\mathbf {v} )$ homogenitás

Ez még úgy is megfogalmazható, hogy ${\mbox{ }}_{\mathcal {A}}$ megtartja a lineáris kombinációt, azaz minden λ₁, λ₂, … , λ_n T-beli elemre és v₁, v₂, … , v_n ∈ V vektorra:

${\mathcal {A}}(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+...+\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=\lambda _{1}{\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{1})+\lambda _{2}{\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{2})+...+\lambda _{n}{\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{n})$

Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:

${\mathcal {O}}$, ${\underline {\underline {\mathcal {A}}}}$, ${\widehat {\mathcal {B}}}$, ${\widehat {\underline {\underline {C}}}}$,$\varphi \,$, ${\mathcal {A}}\mathbf {v}$

Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy ${\mbox{ }}_{\mathcal {A}}$: V $\rightarrow$ U egy T feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az ${\mbox{ }}_{\mathcal {A}}$ leképezés T-lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a C $\rightarrow$ C, ${\mbox{ }}_{z}\,$ $\mapsto$ ${\mbox{ }}_{\overline {z}}\,$ konjugálás ugyan R-lineáris, de nem C-lineáris.

A V $\rightarrow$ T típusú lineáris leképezéseket (a térből az alaptestbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.

Minden lineáris leképezés a 0 elemet a képtér 0 elemébe képezi. Ha ${\mbox{ }}_{\mathcal {A}}$: V $\rightarrow$ U, akkor

${\mathcal {A}}\mathbf {0} _{V}=\mathbf {0} _{U}$

Lineáris leképezések tere

Az azonos test feletti, V-ből U-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában

$\mathrm {Hom} (V;U)\,$-val vagy $\mathrm {Lin} (V;U)\,$-val jelölik.

A Hom rövidítés nyilván a vektortér homomorfizmusra utal.

A Hom(V;V) tér (V $\rightarrow$ V vektortér automorfizmusok) ezen kívül egységelemes algebrát alkotnak, a kompozíció műveletével, mint szorzással.

A V $\rightarrow$ V lineáris bijekciók invertálhatóak is. A kompozícióval, mint művelettel csoportot, a V-feletti lineáris csoportot, azaz ${\mbox{ }}_{\mathrm {GL} (V)\,}$-t alkotják.

Leképezések fajtái:

• Monomorfizmus. V $\rightarrow$ U injektív lineáris homomorfizmus.
• Epimorfizmus. V $\rightarrow$ U szűrjektív lineáris homomorfizmus.
• Izomorfizmus. V $\rightarrow$ U bijektív lineáris homomorfizmus.
• Endomorfizmus. V $\rightarrow$ V lineáris homomorfizmus.
• Automorfizmus. V $\rightarrow$ V bijektív lineáris homomorfizmus.

Koordináta reprezentáció

Előírhatósági tétel

Ha ${\mbox{ }}_{\mathcal {A}}$ és ${\mbox{ }}_{\mathcal {B}}$ két V $\rightarrow$ U véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (b₁,b₂,…,b_n) bázis V-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz

${\mathcal {A}}(\mathbf {b} _{1})={\mathcal {B}}(\mathbf {b} _{1}),\;{\mathcal {A}}(\mathbf {b} _{2})={\mathcal {B}}(\mathbf {b} _{2}),\;...\;,{\mathcal {A}}(\mathbf {b} _{n})={\mathcal {B}}(\mathbf {b} _{n})$

akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz ${\mbox{ }}_{\mathcal {A}}$ = ${\mbox{ }}_{\mathcal {B}}$.

Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele. Eszerint egy lineáris leképezést, ha n dimenziós térből képez véges térbe, a képtér n vektora egyértelműen meghatározza.

Leképezés mátrixa

Ha a képtér m dimenziós, akkor ez összesen m $\cdot$ n darab (szám)adat. Rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a koordinátamátrixa, melyen a következő m × n -es mátrixot értjük:

$[{\mathcal {A}}]_{B,C}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}\vert \\\vert \\{\mathcal {A}}\mathbf {b} _{1}\\\vert \\\vert \end{matrix}}&{\begin{matrix}\vert \\\vert \\{\mathcal {A}}\mathbf {b} _{2}\\\vert \\\vert \end{matrix}}&...&{\begin{matrix}\vert \\\vert \\{\mathcal {A}}\mathbf {b} _{n}\\\vert \\\vert \end{matrix}}\end{bmatrix}}$

ahol B = (b₁,b₂,…,b_n) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek ${\mbox{ }}_{\mathcal {A}}$ általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha ${\mbox{ }}_{\mathcal {A}}$ V $\rightarrow$ V típusú, akkor csak ${\mbox{ }}_{[{\mathcal {A}}]_{B}}$-t szokás írni, ha pedig pusztán ${\mbox{ }}_{[{\mathcal {A}}]}$-t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Tⁿ vektortér (például Rⁿ) sztenderd bázisáról van szó, azaz a

${\mbox{ }}_{{\mbox{ }}_{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;\dots \;,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}}}$

vektorrendszerről.

Ezzel a képvektorok koordinátáit a következő mátrixszorzással számíthatjuk ki:

$[{\mathcal {A}}\mathbf {v} ]_{C}=[{\mathcal {A}}]_{B,C}\cdot [\mathbf {v} ]_{B}$

Operátorműveletek és mátrixműveletek

A lineáris leképezésekkel végezendő műveletek a mátrixaikkal is elvégezhetők.

• Kompozíció

$[{\mathcal {A}}\circ {\mathcal {B}}]=[{\mathcal {A}}]\cdot [{\mathcal {B}}]$

• Invertálás. Injektív lineáris leképezés mátrixa reguláris, és fennáll:

$[{\mathcal {A}}^{-1}]=[{\mathcal {A}}]^{-1}$

• Összeadás

$[{\mathcal {A}}+{\mathcal {B}}]=[{\mathcal {A}}]+[{\mathcal {B}}]$

• Skalárszoros

$[\lambda {\mathcal {A}}]=\lambda \cdot [{\mathcal {A}}]$

Források

• PlanetMath: Linear transformation
• Encyclopaedia of Mathematics: Linear operator
• MathWorld: Linear Transformation