„Háromszög-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
aNincs szerkesztési összefoglaló |
||
2. sor: | 2. sor: | ||
Az egyenlőtlenség tovább általánosítható [[valós számok|valós]] és [[komplex számok]]ra, összegzésekre, integrálokra és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét [[abszolútérték-függvény|abszolútértékek]] és különféle [[norma (matematika)|normák]] veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is. |
Az egyenlőtlenség tovább általánosítható [[valós számok|valós]] és [[komplex számok]]ra, összegzésekre, integrálokra és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét [[abszolútérték-függvény|abszolútértékek]] és különféle [[norma (matematika)|normák]] veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is. |
||
== A tétel == |
== A tétel == |
||
A [[háromszög]] bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz: |
A [[háromszög]] bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz: |
A lap 2015. március 14., 13:31-kori változata
A háromszög-egyenlőtlenség a geometria egyik legalapvetőbb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni.
Az egyenlőtlenség tovább általánosítható valós és komplex számokra, összegzésekre, integrálokra és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét abszolútértékek és különféle normák veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is.
A tétel
A háromszög bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz: , és .
A tétel ekvivalens alakja: , és
Bizonyítás:
-t elég bizonyítani. Hosszabbítsuk meg az oldalt, és felmérjük a távolságot a meghosszabbított félegyenesre, így kapjuk a szakaszt. háromszög egyenlő szárú, ekkor szög = szög. az szög belsejében halad, ekkor szög > szög = szög, így . Ez viszont éppen a tételben szereplő .
Metrikus interpretáció
A háromszög-egyenlőtlenség biztosítja, hogy a kétdimenziós (általánosabban, az n-dimenziós) euklideszi tér tetszőleges három A,B,C pontjára igaz legyen, hogy bármely kettő pár egymástól mért távolságainak összege nagyobb, mint a harmadik pár közt mért távolsága:
Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "két pont között a legrövidebb út az egyenes", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.
A háromszög-egyenlőtlenség e változata megenged elfajult háromszögeket, amikor is néhány háromszögcsúcs vagy -oldal illeszkedik egymásra.
A tétel általánosításai
Valós számokra
Valós számokra:
Bizonyítás:
Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
Mindkét oldalból kivonva az azonos tagokat:
és ez mindig teljesül, mert
minden -re.
Valós számokra önállóan is belátható a háromszög-egyenlőtlenség kivonásos alakja:
Nyilván
Az
helyettesítéssel
Viszont, ha
akkor
Az előző két egyenlőtlenséget összetéve
y helyére -y-t téve
Összefoglalva
- minden -re.
Komplex számokra
Komplex számokra a háromszög-egyenlőtlenség:
Bizonyítás:
Mivel egyik oldal sem lehet negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) http://localhost:6011/hu.wikipedia.org/v1/ szervertől:): {\displaystyle z_1\overline{z_1}{+}z_1\overline{z_2}{+}{\underbrace{\overline{z_1}z_2}_{=\overline{z_1\overline{z_2}}}}{+}z_2\overline{z_2}\ \le\ z_1\overline{z_1}{+}2{\underbrace{|z_1 z_2|}_{=|z_1\overline{z_2}|}}{+}z_2\overline{z_2}, }
ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A két oldalról eltávolítva az egyenlő tagokat, és a helyettesítést elvégezve
A z komplex szám algebrai alakja legyen . Ezzel
és
ami és a valós négyzetgyökfüggvény monotóniája miatt mindig fennáll.
A valós esethez hasonlóan látható be a kivonásos alak is
- minden -re.
Összegekre és integrálokra
A háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával és teljes indukcióval
ahol az számok lehetnek valósak, vagy komplexek.
Integrálokra: Legyen az függvény Riemann-integrálható, ahol egy intervallum!
Ekkor
- .[1]
Hasonlók teljesülnek komplex értékű függvényekre is:
,[2].
Ekkor ugyanis van egy komplex úgy, hogy és .
Mivel
valós, ezért szükségképpen egyenlő nullával.
Emellett
- ,
összetéve tehát
- .
Vektorokra
Vektorokra:
- .
Négyzetre emeléssel:
- ,
és a Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség felhasználásával:
- .
Innen, mint a valós esetben:
és
Gömbháromszögekre
A gömbháromszögek körében a háromszög-egyenlőtlenség azokra a háromszögekre korlátozódik, amiknek egyik oldala sem nagyobb egy fél főkörívnél, azaz a < π, b < π és c < π. Általános gömbháromszögekre a tétel nem igaz.
Ahogy az ábra mutatja:
de , ahol még az is igaz, hogy
Normált terekben
Az normált térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:
és megkövetelik, hogy a tér az adott normával ezt az egyenlőtlenséget azonossággal teljesítse.
Ebből
és
- minden -re.
Speciálisan, az Lp-terekben a háromszög-egyenlőtlenséget Minkowski-egyenlőtlenségnek nevezik, és a Hölder-egyenlőtlenséggel bizonyítják.
Metrikus terekben
Az metrikus térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:
és megkövetelik, hogy a tér az adott d távolságfüggvénnyel ezt az egyenlőtlenséget azonossággal teljesítse.
Innen következik
és
a tér tetszőleges elemeire.
Források
- ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. kiadás. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 85.1
- ↑ Walter Rudin: Real and Complex Analysis. MacGraw-Hill 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem 1.33
- Obádovics J. Gyula: Matematika