„Hatványhalmaz” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Legobot (vitalap | szerkesztései)
a Bot: 34 interwiki link migrálva a Wikidata d:q205170 adatába
Nincs szerkesztési összefoglaló
9. sor: 9. sor:
==Példa==
==Példa==
Ha <math>H</math> az <math>\{a, b, c\}</math> háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:
Ha <math>H</math> az <math>\{a, b, c\}</math> háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:
* nulla elemű részhalmaza az <math>\emptyset</math> [[üres halmaz]]
* nullaelemű részhalmaza az <math>\emptyset</math> [[üres halmaz]]
* egyelemű részhalmazai az <math>\{a\}</math>, a <math>\{b\}</math> és a <math>\{c\}</math>
* egyelemű részhalmazai az <math>\{a\}</math>, a <math>\{b\}</math> és a <math>\{c\}</math>
* kételemű részhalmazai: <math>\{a, b\}</math>, <math>\{a, c\}</math>, és <math>\{b, c\}</math>
* kételemű részhalmazai: <math>\{a, b\}</math>, <math>\{a, c\}</math> és <math>\{b, c\}</math>
* egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga: <math>\{a, b, c\}</math>
* egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga: <math>\{a, b, c\}</math>
Tehát <math>\mathcal{P}(H)=\big\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\big\}</math>
Tehát <math>\mathcal{P}(H)=\big\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\big\}</math>


==Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz fogalmai==
==Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz fogalmai==
Cantor elméletében, a [[naiv halmazelmélet]]ben egyáltalán nem kétséges, hogy minden ''H'' halmaz esetén a <math>x\subseteq H</math> kijelentésből képezett <math>\{x\mid x\subseteq H\}</math> halmaz ''létezik.'' Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát ''hatványhalmaz axiómának'' nevezzük.
Cantor elméletében, a [[naiv halmazelmélet]]ben egyáltalán nem kétséges, hogy minden ''H'' halmaz esetén a <math>x\subseteq H</math> kijelentésből képezett <math>\{x\mid x\subseteq H\}</math> halmaz ''létezik.'' Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát ''hatványhalmaz axiómának'' nevezzük.
===Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer===
===Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer===
41. sor: 41. sor:
:''Megjegyzés:'' Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló <math>2^H:=\mathcal{P}(H)</math> hatványozásra utaló jelölést.
:''Megjegyzés:'' Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló <math>2^H:=\mathcal{P}(H)</math> hatványozásra utaló jelölést.
* '''Tétel''' – ''([[Cantor-tétel]])'' – Bármely ''H'' halmaz esetén <math>\mathcal{P}(H)</math> számossága nagyobb ''H'' számosságánál.
* '''Tétel''' – ''([[Cantor-tétel]])'' – Bármely ''H'' halmaz esetén <math>\mathcal{P}(H)</math> számossága nagyobb ''H'' számosságánál.


Jelben: <math>| \mathcal{P}(H) | > |H|</math>.
Jelben: <math>| \mathcal{P}(H) | > |H|</math>.
60. sor: 60. sor:


Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a <math>\mathcal{P}(U)</math> összességet, de mivel ''Set(U)'' cáfolható, azaz ''U'' nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.
Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a <math>\mathcal{P}(U)</math> összességet, de mivel ''Set(U)'' cáfolható, azaz ''U'' nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.

==Felhasznált irodalom==
==Felhasznált irodalom==
===Bourbaki halmazelméletéről===
===Bourbaki halmazelméletéről===
* Kristóf János, ''Az analízis logikai alapjai,'' ELTE jegyzet, 1998.
* Kristóf János, ''Az analízis logikai alapjai,'' ELTE jegyzet, 1998.
(A matematika logikai megalapozása Bourbaki-szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.])
(A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.])


* Kristóf János, ''Az analízis elemei. I.,'' ELTE jegyzet, 1996.
* Kristóf János, ''Az analízis elemei. I.,'' ELTE jegyzet, 1996.
(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki-szerint. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.])
(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.])
* Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
* Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
* [http://planetmath.org/encyclopedia/NicolasBourbaki.html Cikk a Bourbaki-csoportról]
* [http://planetmath.org/encyclopedia/NicolasBourbaki.html Cikk a Bourbaki-csoportról]

A lap 2013. november 20., 16:27-kori változata

Az {x, y, z} halmaz hatványhalmazának az elemei Hasse-diagrammal ábrázolva

A halmazelméletben egy halmaz hatványhalmazának nevezzük az adott halmaz összes részhalmazainak a halmazát.

Definíció

Ha halmaz, akkor -val jelöljük és a halmaz hatványhalmazának nevezzük a összes részhalmazainak halmazát. Vagy másképpen: ahol a szimbólum a részhalmaz-reláció jele.

Példa

Ha az háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:

  • nullaelemű részhalmaza az üres halmaz
  • egyelemű részhalmazai az , a és a
  • kételemű részhalmazai: , és
  • egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga:

Tehát

Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz fogalmai

Cantor elméletében, a naiv halmazelméletben egyáltalán nem kétséges, hogy minden H halmaz esetén a kijelentésből képezett halmaz létezik. Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát hatványhalmaz axiómának nevezzük.

Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer

ZF-ben (és bővítéseiben) hatványhalmaz axiómának nevezzük a következő formulát:

ahol jelöli az formulát.

Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet

Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható T(x) tulajdonságra az {x|T(x)} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük halmaznak, hanem csak osztálynak. Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a H kifejezés halmaz, ha levezethető az formula. Ezt a formulát Set(H)-val jelöljük és jelentése: "H halmaz ". Rövidítsük az -t -val. Ekkor a hatványhalmaz axióma a következő formula:

Bourbaki-halmazelmélet

A francia matematikuscsoport által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden A formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és x változó esetén jelöli az formulát, melynek jelentése: "az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)". Ha tétel, akkor azt mondjuk, hogy az A formula kollektivizáló az x változóban. A hatványhalmaz axióma ekkor a következő formula:

ahol jelöli az formulát.

Tételek a hatványhalmazról

  • Tétel – Ha H véges halmaz és elemszáma az n természetes szám, akkor H hatványhalmazának számossága .
Megjegyzés: Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló hatványozásra utaló jelölést.
  • Tétel(Cantor-tétel) – Bármely H halmaz esetén számossága nagyobb H számosságánál.

Jelben: .

  • Tétel – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a valós számok halmazának számosságával, azaz kontinuum-számosságú. Tömören: .

Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.

  • Állítás – Ha H halmaz, akkor a
  • és (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes félcsoportok
  • a -val és -val mint műveletekkel ellátva Boole-algebrát alkot
  • a relációval ellátva Boole-hálót alkot.

Továbbá a mértékelmélet számára fontos tény, hogy a hatványhalmaz halmazgyűrű, sőt -algebra (szigma-algebra).

Történeti adalékok

Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált Cantor-antinómia a Cantor-tételből következik. Legyen U az összes halmazok halmaza, azaz bármely H halmazra . A naiv halmazelmélet szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így U-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: , ami ellentmondás.

Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a összességet, de mivel Set(U) cáfolható, azaz U nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.

Felhasznált irodalom

Bourbaki halmazelméletéről

  • Kristóf János, Az analízis logikai alapjai, ELTE jegyzet, 1998.

(A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)

  • Kristóf János, Az analízis elemei. I., ELTE jegyzet, 1996.

(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)

  • Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
  • Cikk a Bourbaki-csoportról