Boole-algebra

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában, közelebbről az algebrában a Boole-algebra (vagy Boole-háló) az a kétműveletes algebrai struktúra (egy halmaz, az elemei között értelmezett két művelettel ellátva), amely a halmazműveletek, a logikai műveletek és az eseményalgebra műveleteinek közös tulajdonságaival rendelkezik. Matematikai szemszögből a Boole-algebra olyan legalább kételemű egységelemes, zéruselemes háló, mely disztributív és komplementumos. Ez utóbbi tulajdonság azt jelenti, hogy az halmaz minden a elemére teljesül, hogy létezik olyan elem, hogy:

ahol 1 az egységelem, 0 a zéruselem, -t pedig az komplementerének nevezzük.

Az háromelemű halmaz részhalmazainak Boole-algebrája irányított gráfként ábrázolva. Az reláció teszi relációs struktúrává

George Boole angol matematikus mutatott rá először arra, hogy az alábbi három terület közötti szoros algebrai jellegű kapcsolat áll fenn:

  • egy tetszőleges H halmaz hatványhalmaza, a H részhalmazai közötti unió és metszet tulajdonsággal; az A részhalmaz komplementere a H azon elemei, melyek nincsenek benne A-ban
  • az „igazságértékek” halmaza, a logikai összeadás és a szorzás műveletével (mely rendre a „vagy” és az „és” szerepét tölti be); az elem komplementere , az elem negációja
  • a valószínűség-elmélet egy eseménytere, az események közötti összeg és szorzat műveletével; az komplementer az az esemény, hogy az esemény nem következik be.

Mivel az igaz értéket bináris számokkal vagy logikai áramkörök feszültségszintjeivel is azonosíthatjuk, a párhuzam ezekre is fennáll. Így a Boole-algebra elmélete rengeteg gyakorlati alkalmazással bír a villamosmérnöki szakma és a számítógép-tudomány területén, valamint a matematikai logikában. Erről lásd még: Boole-algebra (informatika).

Minden Boole-algebra megfeleltethető egy relációs struktúrának az megfeleltetéssel. Ez a hálóelméleti definíció nyújt lehetőséget a Boole-algebra általánosítására. Ez a Heyting-algebra, mely nem tartalmazza azt a megkötést, hogy egy kijelentésnek mindenképpen igaznak vagy hamisnak kell lennie (lásd a fenti komplementer azonosságot). Míg a Boole-algebra a klasszikus propozicionális logika algebrai interpretációjának tekinthető, addig a Heyting-algebra az intuicionista logika algebrai interpretációját adja.

Története[szerkesztés]

A „Boole-algebrát” George Boole (1815–1864) tiszteletére nevezték el, aki autodidakta angol matematikus volt. A logika algebrai rendszerét 1854-es monográfiájában, A gondolkodás törvényeiben (The Laws of Thought) fogalmazta meg. Ez különbözött a fent leírttól pár fontos pontban. Például a konjunkció és a diszjunkció számára nem egy duális operátorpár volt. A Boole-algebra 1860-ban jött létre William Jevons és Charles Peirce cikkeiben. Ernst Schröder 1890-es Vorlesungenjének idejére már rendelkeztünk a Boole-algebra és a disztributív hálók első rendszerezett bemutatásával. Angol nyelvterületen a Boole-algebra első kiterjedt tárgyalása Alfred North Whitehead 1898-ban írt Univerzális algebra (Universal Algebra) című műve volt. A Boole-algebrának az első axiomatikus algebrai struktúraként történő tárgyalása Edward Vermilye Huntington 1904-es dolgozatával kezdődött meg. Komoly matematikává Marshall Stone 1930-as években végzett munkájával és Garrett Birkhoff 1940-es Hálóelmélet (Lattice Theory) című művével vált. Az 1960-as években Paul Cohen, Dana Scott és mások mélyenszántó új eredményeket találtak a matematikai logika és az axiomatikus halmazelmélet területén a Boole-algebra ágainak használatával, név szerint a forszolással és a Boole-értékű modellekkel.

Axiomatizálása[szerkesztés]

1933-ban Edward Vermilye Huntington amerikai matematikus (1874–1952) egy elegáns axiómarendszert dolgozott ki a Boole-algebrák számára. Ehhez két alapműveletre volt szüksége, a két változós és az egy változós műveletre, ami a komplementert adja vissza. A Boole-algebra eleget tesz a következő követelményeknek.

  1. kommutativitás: .
  2. asszociativitás: .
  3. Huntington-egyenlőség: .

Herbert Robbins az utolsó egyenlőséget a duálisával helyettesítette:

4. Robbins-egyenlet:

Évtizedekig nyitott kérdés volt, hogy az 1., 2., és a 4. axióma együtt szintén Boole-algebrát ad-e. A sejtést csak 1996-ban sikerült bebizonyítani.

A Robbins-sejtés évtizedeken át nyitott maradt, és Alfred Tarski és köre kedvenc témájává vált. 1996-ban William McCune igazolta Larry Wos, Steve Winker, és Bob Veroff eredményeinek felhasználásával. Dahn egyszerűsítette a bizonyítást.

Részletes definíció[szerkesztés]

A Boole-algebra tehát egy halmaz, melynek van legalább két eleme, az 1 és a 0, ellátva a kétváltozós (szóban: „vagy”) és (szóban „és”) művelettel, továbbá a (szóban: „felülvonás”, „tagadás”), avagy más jelöléssel: (szóban: „komplemens”, „ellentett”) egyváltozós művelettel, melyet komplementerképzésnek nevezünk és melyekre a következő művelet azonosságok teljesülnek:

asszociatív
kommutatív
elnyelési tulajdonság
disztributív
komplementerképzés

Mindezekből következnek további tulajdonságok is:

idempotencia
korlátosság
0 és 1 egymás komplementerei
de Morgan-azonosságok

Példák[szerkesztés]

Kételemű Boole-algebra[szerkesztés]

A legegyszerűbb Boole-algebra csak az 1 és a 0 elemeket tartalmazza. Ez megfelel az igazságértékekkel végzett műveletek algebrájának. A műveleti táblák ekkor a műveletek explicit definícióját adják:

0 1
0 0 0
1 0 1
0 1
0 0 1
1 1 1
0 1
1 0

Halmazműveletek[szerkesztés]

Ha megadunk egy H halmazt (vagy egy C osztályt – ahogy eredetileg Boole), akkor ennek részhalmazai Boole-algebrát alkotnak a következő műveletkiosztással:

(unió)
(metszet)
komplemeter: az alaphalmazból való halmazkivonás művelete

Ebben az interpretációban 1 megfelel az alaphalmaznak, 0 az üres halmaznak.

Szintén Boole-algebra a H alaphalmaz véges és ko-véges részhalmazainak rendszere.

Egyéb példák[szerkesztés]

  • Legyen H egy teljesen rendezett halmaz, és vegyük a legszűkebb, az félig nyílt intervallumokat tartalmazó algebrát (, vagy ). Az így kapott Boole-algebrák az intervallumalgebrák; minden megszámlálható Boole-algebra izomorf egy intervallumalgebrával.
  • Egy n természetes számra n pozitív osztói disztributív hálót adnak, ha a rendezés az oszthatóság, a metszet a legnagyobb közös osztó, az egyesítés a legkisebb közös többszörös képzése. Ebben a hálóban a legkisebb elem az 1, a legnagyobb elem n. Ez a háló akkor és csak akkor Boole-algebra, ha n négyzetmentes.
  • Legyen X topologikus tér. Ekkor X összes olyan részhalmaza, ami nyílt és zárt is, Boole-algebrát alkot. A műveletek: egyesítés, és metszet.
  • Legyen R gyűrű, és vegyük a centrális idempotens elemeket:

Ekkor A Boole-algebra lesz a és az műveletekkel.

Boole-halmazalgebra[szerkesztés]

Amennyiben A halmaz, B az A bizonyos részhalmazainak halmaza, akkor abban az esetben mondjuk, hogy az struktúra Boole-halmazalgebra, ha B zárt a halmazműveletekre, az üres halmaz (0) és A eleme B-nek.

Stone tétele szerint minden (absztrakt) Boole-algebra izomorf egy Boole-halmazalgebrával.

Ez azt is jelenti, hogy a Boole-halmazalgebrák osztályát végesen axiomatizálják a Boole-algebrák osztályát definiáló egyenletek.

Logikai áramkörök[szerkesztés]

A logikai műveleteket elektromos kapcsolásokként (kapuáramkörökként) is értelmezhetjük. A logikai függvényeket így kapuáramkörök kombinálásával is felírhatjuk. Az ÉS, VAGY és NEGÁLT műveletek soros és párhuzamos kapcsolásnak, valamint invertereknek felelnek meg.

Homomorfizmusok és izomorfizmusok[szerkesztés]

Ha A és B két Boole-algebra, akkor az függvény homomorfizmus és között, ha -ra:

Következik, hogy minden -ra. A Boole-algebrák osztálya ezekkel a morfizmusokkal teljes alkategóriát alkotnak a hálók kategóriájában.

Boole gyűrűk, ideálok és szűrők[szerkesztés]

Ha Boole-algebra, akkor ad egy gyűrűt a metszésre, mint szorzásra, és a szimmetrikus differenciára, mint összeadásra nézve. Ahol is a szimmetrikus differencia:

.

ugyanezt a műveletet a logika nyelvén kizáró vagynak nevezik.

Ebben a gyűrűben a Boole-algebra 0 eleme neutrális elem, és a Boole-algebra 1 eleme a gyűrű egységeleme. Ebben a gyűrűben minden elemre ; az ilyen tulajdonságú gyűrűk a Boole-gyűrűk.

Megfordítva, ha adva van az Boole-gyűrű, akkor Boole-algebrához jutunk a és a műveletekkel. Ez a két átalakítás egymás inverze, ezért akkor és csak akkor homomorfizmusa a Boole-algebrán, ha a Boole-gyűrűn is homomorfizmus. A Boole-gyűrűk és a Boole-algebrák kategóriái ekvivalensek.

Egy A Boole-algebrának ideálja az halmaz, ha minden -re szintén -ben van, és minden -ra is -ben van. Ez megfelel az A Boole-gyűrű ideáljainak. Egy ideál prímideál, ha és ha , akkor a vagy b I-beli. Egy ideál maximális, ha nincs nála nagyobb ideál, ami tartalmazza. Az algebrában és a gyűrűben ugyanazok a részhalmazok prímideálok, vagy maximális ideálok.

Az ideálok duálisai a szűrők. Egy -val jelölt Boole-algebrában szűrő, ha minden -re is -beli, és minden -ra szintén -beli.

Reprezentációi[szerkesztés]

Megmutatható, hogy minden véges Boole-algebra izomorf egy teljes halmazalgebrával. Ezért egy Boole-algebra elemszáma vagy kettőhatvány, vagy végtelen.

M. H. Stone híres tétele azt állítja, hogy minden Boole-algebra izomorf egy Hausdorff-tér összes nyílt-zárt halmazának Boole-algebrájával.

Általánosításai[szerkesztés]

Az egységelem követelményének elejtése az általános Boole-algebrákhoz vezet. Képletekkel:

A disztributív háló általános Boole-háló, ha van egy 0 legkisebb eleme, és -re van egy elem, hogy és . Ha most az az , amire és , a struktúrát általános Boole-hálónak nevezzük, míg általános Boole-félháló. Az általános Boole-hálók éppen a Boole-hálók ideáljai.

A disztributivitás követelményének elejtésével az ortokomplementumos hálókhoz jutunk. Az ilyen hálók természetes módon adódnak a kvantumlogikában, mint szeparábilis Hilbert-terek zárt részhalmazainak hálói.

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Boolean algebra (structure) című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Források[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]