„Riemann-integrál” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Klj (vitalap | szerkesztései) A cikket átírtam, és csak azt hagytam meg, ami a Riemann-integrál jellemzője. |
|||
6. sor: | 6. sor: | ||
[[folytonos függvény|Folytonos]] függvények integráljára először [[Cauchy]] adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. [[Riemann]] kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük. |
[[folytonos függvény|Folytonos]] függvények integráljára először [[Cauchy]] adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. [[Riemann]] kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük. |
||
==Riemann definíciója== |
==Riemann-integrál definíciója== |
||
===Riemann definíciója=== |
|||
Az integrál jellemzői az integrálandó ''f(x)'' függvény és az ''[a,b]'' intervallum, amin integrálunk. Az ''a''-t az ''integrál alsó határának'', a ''b''-t az ''integrál felső határának'' nevezzük. |
Az integrál jellemzői az integrálandó ''f(x)'' függvény és az ''[a,b]'' intervallum, amin integrálunk. Az ''a''-t az ''integrál alsó határának'', a ''b''-t az ''integrál felső határának'' nevezzük. |
||
45. sor: | 46. sor: | ||
Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható. |
Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható. |
||
===Jellemzés a Darboux-integrálokkal=== |
|||
===Az alsó és a felső integrálközelítő összeg=== |
|||
Ha a <math> \sigma_n </math> összegben az <math> f(\xi_i) </math> helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a '' (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez'' jutunk: <math> S_n = \sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1})} </math>, ahol <math> M_i </math> a függvény felső határa (supremuma) az <math> [ x_{i-1}, x_i ] </math> intervallumon. |
Ha a <math> \sigma_n </math> összegben az <math> f(\xi_i) </math> helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a '' (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez'' jutunk: <math> S_n = \sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1})} </math>, ahol <math> M_i </math> a függvény felső határa (supremuma) az <math> [ x_{i-1}, x_i ] </math> intervallumon. |
||
Hasonló a '' |
Hasonló a ''(Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg'' definíciója is: <math> s_n = \sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1})}, </math> ahol <math> m_i </math> az függvény alsó határa (infimuma) az <math> [ x_{i-1}, x_i ] </math> intervallumon. |
||
A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait. |
|||
Amennyiben létezik az <math>\int \limits _a^b f</math> integrál, akkor <math>s_n \le \int \limits _a^b f \le S_n</math>. Ily módon az integrált „két érték közé tudjuk szorítani”. |
|||
Az alsó integrálközelítőösszegek [[szuprémum|szuprémuma]] az alsó Darboux-integrál: |
|||
:<math>\underline{\int_a^b}=\sup\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1}})</math>, |
|||
és a felső integrálközelítőösszegek infimuma az alsó Darboux-integrál: |
|||
:<math>\overline{\int_a^b}=\sup\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1}})</math>. |
|||
Egy adott intervallumon korlátos függvénynek mindig léteznek a Darboux-integráljai. Egy ilyen függvény akkor és csak akkor integrálható Riemann-féle értelemben, ha az alsó és felső Darboux-integráljaik megegyeznek. |
|||
=== A primitív függvény fogalma és a [[Newton–Leibniz-tétel|Newton-Leibniz-formula]]=== |
|||
Az <math>I</math> (véges vagy végtelen) intervallumon értelmezett ''f'' függvény ''primitív függvényének'' nevezzük az ''F'' függvényt, ha '' F'(x)=f (x) '' teljesül bármely <math>x\in I</math> esetén. (Azaz ha F [[derivált]]ja az eredeti f függvény.) |
|||
==A Riemann-integrál tulajdonságai== |
|||
Ha egy ''F(x)'' függvény primitív függvény, akkor '' F(x)+C '' is az, ahol ''C'' tetszőleges valós szám, hiszen konstans hozzáadása a deriváltat nem változtatja meg. Az is bebizonyítható, hogy ''az összes'' primitív függvény felírható F(x)+C alakban. Összefoglalva tehát egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, de ezeket konstans hozzáadásával megkapjuk egymásból. |
|||
===Kapcsolata a folytonossággal=== |
|||
Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is. |
|||
Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és |
|||
Ez grafikusan is könnyen belátható. A derivált a függvény „változási gyorsaságát” jelenti, azaz a grafikonjának a meredekségét. Ha hozzáadunk egy konstanst, akkor a függvény képe függőlegesen eltolódik. Nyilván ezzel minden pontban ugyanaz marad a meredeksége. A három grafikonon ábrázolt függvény deriváltfüggvénye tehát ugyanaz lesz. |
|||
:<math>F(t)=\int_a^t f(x)\,dx</math>, |
|||
akkor <math>F</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n. |
|||
===[[Lineáris leképezés|Linearitás]]=== |
|||
Az ''f(x)'' legyen a ''sin x'' függvény. Ennek egyik primitív függvénye a ''-cos x'' függvény, hiszen ''(-cos x)' = sin x'', de a ''-cos x +5'' függvény is primitív függvény. Általánosan fogalmazva egy függvény pontosan akkor primitív függvénye a ''sin x'' függvénynek, ha felírható ''-cos x +C'' alakban, ahol ''C'' valós szám. |
|||
Ha <math>f, g</math> az <math>[a,b]</math> intervallumon Riemann-integrálható függvények, <math>c</math> valós konstans, akkor <math>f\pm g</math> és <math>cf</math> is integrálható ugyanott, és teljesülnek a következők: |
|||
⚫ | |||
Bebizonyítható, hogy a határozott integrál a következőképpen számolható: <br> Newton–Leibniz-formula: <math> \int \limits _a^b f(x) \,\mathrm{d}x = \Big[ F(x) \Big]_a^b </math>, ahol az ''F'' függvény az ''f'' függvény egyik primitív függvénye, a <math> \Big[ F(x) \Big]_a^b </math> pedig egy új jelölés az '' F(b)-F(a)'' kifejezésre. |
|||
⚫ | |||
<center><math> \int \limits _{\pi}^{\frac{3\pi}2} \sin x \,\mathrm{d}x = \Big[ -\cos x \Big]_{\pi}^{\frac{3\pi}2}= -\cos \frac{3\pi}2 - (-\cos \pi ) = 0 - 1 = -1</math></center> |
|||
===Az integrációs határok felcserélése=== |
|||
A szinuszfüggvényt felrajzolva, a kapott eredmény előjele nem meglepő, hiszen a kérdéses intervallumon a függvényérték végig negatív. |
|||
Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math> intervallumon, akkor |
|||
:<math>\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx</math> |
|||
===Az integrációs intervallum felbonthatósága=== |
|||
Legyen <math>a<b<c</math>. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,c]</math> intervallumon, akkor Riemann-integrálható <math>[a,b]</math> és <math>[b,c]</math> intervallumokon is, valamint: |
|||
:<math>\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx+\int_c^a f(x)\,dx=0</math> |
|||
===Háromszög-egyenlőtlenség=== |
|||
Ha <math>f</math> az <math>[a,b]</math> intervallumon Riemann-integrálható függvény, akkor <math>|f|</math> is az, és teljesül a következő: |
|||
:<math>\left|\int_a^bf(x)\,dx\right|\leq\int_a^b\left|f(x)\right|\,dx</math> |
|||
===[[Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség|Schwarz-egyenlőtlenség]]=== |
|||
==Határozatlan integrál== |
|||
Ha <math>f,g</math> az <math>[a,b]</math> intervallumon integrálhatóak a Riemann-féle értelemben, akkor a négyzeteik és a szorzatuk is, és fennáll a következő egyenlőtlenség: |
|||
A primitív függvények halmazát '''határozatlan integrálnak''' vagy '''antideriváltnak''' nevezzük. |
|||
:<math>\left|\int_a^bf(x)g(x)\,dx\right|\leq\sqrt{\int_a^bf^2(x)\,dx}\sqrt{\int_a^bg^2(x)\,dx}</math> |
|||
Ezt a halmazt vagy gyakrabban annak egy általános elemét <math>\int f(x)\, \mathrm{d}x </math> vagy röviden <math>\int f</math> jelöli. |
|||
===Newton-Leibniz formula=== |
|||
===Nevezetes függvények primitív függvényei=== |
|||
A határozott integrál és a [[Határozatlan integrál|primitív függvény]] kapcsolatát tárja fel a [[Isaac Barrow]] által felfedezett [[Newton-Leibniz-tétel|Newton-Leibniz formula]]: |
|||
Ha <math>[a,b]</math>-n <math>F'=f</math>, akkor |
|||
<math>\int \sin(x)\, \mathrm{d}x = -\cos x + C</math>, ahol C tetszőleges valós szám. |
|||
:<math>\int_a^b f(x)dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)</math> |
|||
Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek. |
|||
<math>\int a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \, \mathrm{d}x = \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n-1+1} x^{n+1-1} + ... + \frac{a_2}{3} x^3 + \frac{a_1}{2} x^2 + a_0 x + C</math>, ahol C tetszőleges valós szám. |
|||
Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és <math>F(x)=\int_a^xf(t)\,dt</math> (azaz <math>F</math> határozatlan intgrálja f-nek), akkor <math>F'(x)=f(x)</math>, az intervallum minden <math>x</math> pontjára. |
|||
<math>\int \frac{\mathrm{d}x}{x} = ln|x| + C</math>, ahol C tetszőleges valós szám. |
|||
===Parciális integrálás=== |
|||
<math>\int e^{x} \, \mathrm{d}x = e^x + C</math>, ahol C tetszőleges valós szám. |
|||
A Newton-Leibniz formulából már könnyen adódik a parciális integrálás képlete: |
|||
⚫ | |||
===Helyettesítéses integrálás=== |
|||
<math>\int \frac{\mathrm{d}x}{\cos^2(x)} = \tan(x) + C</math>, ahol C tetszőleges valós szám. |
|||
Legyen <math>x=\varphi(t)</math>, ahol <math>\varphi</math> folytonosan differenciálható, és <math>f</math> folytonos <math>[a,b]</math> <math>\varphi</math> általi képén. Ekkor |
|||
:<math>\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\,dx=\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt</math> |
|||
<math>\int \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \arctan(x) + C</math>, ahol C tetszőleges valós szám. |
|||
===Integrálási szabályok === |
|||
Az integrálási szabályok levezethetőek a deriválási szabályokból. Példák (<math>f, g</math> függvények, <math>c</math> valós konstans) : |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
<math>\int f ( ax + b ) = \frac {F ( ax + b ) }{a} + C</math>, ahol <math>a \neq 0</math>, valamint <math>b, C \in \mathbb{R}</math> és <math>F' = f</math>. |
|||
⚫ | |||
<math>\int (f \circ g) \cdot g' = F \circ g + C</math>, ahol <math>F' = f</math> és <math>C \in \mathbb{R}</math>. |
|||
<math>\int (f^{\alpha} \cdot f') = \frac{f^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C </math>, ahol <math>\alpha \neq -1</math> és <math>C \in \mathbb{R}</math>. |
|||
<math>\int \frac {f'}{f} = \ln |f| + C</math>, ahol <math>C \in \mathbb{R}</math>. |
|||
== A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma == |
== A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma == |
A lap 2013. augusztus 18., 17:35-kori változata
A matematikai analízisben az érintőprobléma mellett a másik jelentős témakör a kvadratúra problémája, vagyis a függvénygörbe alatti terület meghatározása, azaz az integrálás (régen: egészlés).
Szemléletesen az integrálás feladata azt meghatározni, hogy adott [a,b] zárt intervallumon értelmezett, pozitív értékeket felvevő függvény esetén mekkora területű síktartományt határol a függvény görbéje, az x tengely, valamint az x = a és az x = b egyenes. Valójában ez a másik irányban igaz: Az integrálás segítségével definiálható az említett görbével határolt terület nagysága.
Folytonos függvények integráljára először Cauchy adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. Riemann kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük.
Riemann-integrál definíciója
Riemann definíciója
Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.
Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen halmazzal, ahol . Ezt az Fn halmazt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen:
Mindegyik [xi-1, xi] részintervallumból (1 ≤ i ≤ n) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξi elemet.
Állítsunk f(ξi) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:
Ezt a jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:
A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: . Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.
Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele: vagy röviden: .
Összefoglalva:
- ahol
Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.
Jellemzés a Darboux-integrálokkal
Ha a összegben az helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez jutunk: , ahol a függvény felső határa (supremuma) az intervallumon.
Hasonló a (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg definíciója is: ahol az függvény alsó határa (infimuma) az intervallumon.
A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait. Az alsó integrálközelítőösszegek szuprémuma az alsó Darboux-integrál:
- ,
és a felső integrálközelítőösszegek infimuma az alsó Darboux-integrál:
- Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) http://localhost:6011/hu.wikipedia.org/v1/ szervertől:): {\displaystyle \overline{\int_a^b}=\sup\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1}})} .
Egy adott intervallumon korlátos függvénynek mindig léteznek a Darboux-integráljai. Egy ilyen függvény akkor és csak akkor integrálható Riemann-féle értelemben, ha az alsó és felső Darboux-integráljaik megegyeznek.
A Riemann-integrál tulajdonságai
Kapcsolata a folytonossággal
Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is.
Ha Riemann-integrálható -n, és
- ,
akkor folytonos -n.
Linearitás
Ha az intervallumon Riemann-integrálható függvények, valós konstans, akkor és is integrálható ugyanott, és teljesülnek a következők:
Az integrációs határok felcserélése
Ha Riemann-integrálható intervallumon, akkor
Az integrációs intervallum felbonthatósága
Legyen . Ha Riemann-integrálható intervallumon, akkor Riemann-integrálható és intervallumokon is, valamint:
Háromszög-egyenlőtlenség
Ha az intervallumon Riemann-integrálható függvény, akkor is az, és teljesül a következő:
Schwarz-egyenlőtlenség
Ha az intervallumon integrálhatóak a Riemann-féle értelemben, akkor a négyzeteik és a szorzatuk is, és fennáll a következő egyenlőtlenség:
Newton-Leibniz formula
A határozott integrál és a primitív függvény kapcsolatát tárja fel a Isaac Barrow által felfedezett Newton-Leibniz formula:
Ha -n , akkor
Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek.
Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha Riemann-integrálható -n, és (azaz határozatlan intgrálja f-nek), akkor , az intervallum minden pontjára.
Parciális integrálás
A Newton-Leibniz formulából már könnyen adódik a parciális integrálás képlete:
Helyettesítéses integrálás
Legyen , ahol folytonosan differenciálható, és folytonos általi képén. Ekkor
A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma
Egy intervallumon értelmezett függvény pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos és majdnem minden pontjában folytonos (tehát a szakadási pontok halmaza a Lebesgue-mérték szerint nullmértékű).
Egyéb integrálok
Bár a Riemann-integrál a leggyakrabban használt integrál, van sok egyéb integrálfogalom:
- Banach-integrál
- Burkill-integrál
- Daniell-integrál
- Darboux-integrál, a Riemann-integrál egy variációja
- Denjoy-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása
- Dirichlet-integrál
- Euler-integrál
- Fejér-integrál
- Haar-integrál
- Henstock-Kurzweil-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása (HK-integrál, valamint Kurzweil-Henstock-integrál néven is)
- Henstock-Kurzweil-Stieltjes integrál (HK-Stieltjes-integrál néven is)
- Itô-integrál
- Itô-Stieltjes-integrál
- Lebesgue-integrál
- Lebesgue-Stieltjes-integrál (Lebesgue-Radon-integrál néven is)
- mérték szerinti integrál, az integrálfogalom legfontosabb mértékelméleti általánosítása
- Perron-integrál, ami ekvivalens a tiltott Denjoy-integrállal
- Poisson-integrál
- Radon-integrál
- Stieltjes-integrál, a Riemann-integrál kiterjesztése (Riemann-Stieltjes-integrálnak is nevezik)
- sztochasztikus integrál
- Wiener-integrál
- Young-féle integrál
Külső hivatkozások
- Magyarított Flash animáció a Riemann-integrál szemléltetéséről általában plusz egy konkrét függvénnyel. Szerző: David M. Harrison
Források
- Durszt E. (1995): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
- Imreh Cs. (1997): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
- Leindler L. (1995): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
- Medvegyev P. (2004): Szochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
- Mikolás M. (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.