„Részbenrendezett halmaz” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Syp (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
Syp (vitalap | szerkesztései) |
||
| 11. sor: | 11. sor: | ||
* ha <math>a\leq b</math> és <math>b\leq a</math>, akkor <math>a = b</math> |
* ha <math>a\leq b</math> és <math>b\leq a</math>, akkor <math>a = b</math> |
||
* ha <math>a\leq b</math> és <math>b\leq c</math>, akkor <math>a\leq c</math> |
* ha <math>a\leq b</math> és <math>b\leq c</math>, akkor <math>a\leq c</math> |
||
==Gyenge és erős részbenrendezés== |
|||
Bizonyos kontextusokban a fent definiált reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív részbenrendezést („≤”) '''gyenge részbenrendezésnek''' nevezik, és definiálják a '''szigorú részbenrendezést''' („<”), ami antiszimmetrikus, tranzitív, de [[irreflexív reláció|irreflexív]]. |
|||
== Kiterjesztés, kompatibilitás, atommentesség, elágazó részbenrendezett halmazok== |
== Kiterjesztés, kompatibilitás, atommentesség, elágazó részbenrendezett halmazok== |
||
A lap 2017. február 4., 09:44-kori változata
A matematikában részbenrendezett halmaznak (vagy más néven parciálisan rendezett halmaznak, angolul: partially ordered set vagy poset) nevezünk egy halmazt, ha definiálva van a halmaz elemein egy részbenrendezés (vagy más néven parciális rendezés), azaz egy reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív reláció. Részbenrendezett halmazok esetében tehát nem követeljük meg, hogy az alaphalmaz bármely két eleme összehasonlítható legyen, mint a rendezett halmazoknál.
Részbenrendezett halmaz rendezett részhalmazának neve lánc, az olyan részhalmazé pedig, amelyben semelyik két elem sem hasonlítható össze, antilánc.
Részbenrendezett halmazok ábrázolására általában Hasse-diagramot használunk.
Definíció
Az párt részbenrendezett halmaznak nevezzük, ha tetszőleges halmaz, pedig -n értelmezett részbenrendezés, azaz tetszőleges elemekre teljesülnek a következők:
- ha és , akkor
- ha és , akkor
Gyenge és erős részbenrendezés
Bizonyos kontextusokban a fent definiált reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív részbenrendezést („≤”) gyenge részbenrendezésnek nevezik, és definiálják a szigorú részbenrendezést („<”), ami antiszimmetrikus, tranzitív, de irreflexív.
Kiterjesztés, kompatibilitás, atommentesség, elágazó részbenrendezett halmazok
Legyen tetszőleges részbenrendezett halmaz és . Azt mondjuk, hogy b kiterjesztése a-nak, ha , illetve valódi kiterjesztésről beszélünk, ha és
Legyen tetszőleges részbenrendezett halmaz és . Akkor mondjuk, hogy az és elemek kompatibilisek, ha van közös kiterjesztésük, azaz van olyan elem, amelyre és is teljesül. Ellenkező esetben inkompatibilis elemekről beszélünk.
Legyen tetszőleges részbenrendezett halmaz és . Az elemet atomnak nevezzük, ha az elemnek nincs valódi kiterjesztése. Az részbenrendezett halmazt atommentesnek nevezzük, ha nincs benne atom.
Az részbenrendezett halmazt elágazó részbenrendezett halmaznak nevezzük, ha tetszőleges elemekhez létezik olyan elem, hogy kompatibilis -val és inkompatibilis -vel.
Tulajdonságok
Legyen tetszőleges atommentes, elágazó részbenrendezett halmaz. Ekkor tetszőleges elemhez létezik elem úgy, hogy és egyaránt kiterjesztése -nak, azonban és egymással inkompatibilis.[1]
Példák
- A természetes számok halmazán értelmezett oszthatóság reláció részbenrendezés.
- Definíció szerint minden rendezett halmaz részbenrendezett.
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ Lásd: Csirmaz László: Forszolás (jegyzet)
Hivatkozások
- Csirmaz László: Forszolás (jegyzet)
- Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
- Szász Gábor: Bevezetés a hálóelméletbe, Akadémiai Kiadó, Budapest (1959)
- Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
További információk
- Partially Ordered Set a MathWorld oldalán
- Forszolás (jegyzet) Csirmaz László oldalán