„Ötödfokú egyenlet” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
13. sor: | 13. sor: | ||
== Megoldható ötödfokú egyenletek == |
== Megoldható ötödfokú egyenletek == |
||
Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például <math>x^5 - x^4 - x + 1 = 0\,</math> felírható mint <math>(x^2 + 1) (x + 1) (x - 1)^2 = 0\,</math>. Más ötödfokú egyenlet mint például a <math>x^5 - x + 1 = 0\,</math> nem fejezhető ki ilyen alakban. [[Évariste Galois]] kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy |
Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például <math>x^5 - x^4 - x + 1 = 0\,</math> felírható mint <math>(x^2 + 1) (x + 1) (x - 1)^2 = 0\,</math>. Más ötödfokú egyenlet, mint például a <math>x^5 - x + 1 = 0\,</math> nem fejezhető ki ilyen alakban. [[Évariste Galois]] kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinomegyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a [[Galois-elmélet]] területét. Ezeket az eljárásokat először [[John Stuart Glashan]], [[George Paxton Young]] és [[Carl Runge]] alkalmazta [[1885]]-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a forrásokban). |
||
Azt találták, hogy bármely [[Irreducibilis polinom|irreducibilis]] ötödfokú polinom racionális együtthatókkal [[Erland Samuel Bring|Bring]]-[[George Jerrard|Jerrard]] formában, |
Azt találták, hogy bármely [[Irreducibilis polinom|irreducibilis]] ötödfokú polinom racionális együtthatókkal [[Erland Samuel Bring|Bring]]-[[George Jerrard|Jerrard]] formában, |
||
20. sor: | 20. sor: | ||
gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú: |
gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú: |
||
:<math>x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x + \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} = 0</math> |
:<math>x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x + \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} = 0</math>, |
||
ahol <math>\mu</math> és <math>\nu</math> racionálisak. |
ahol <math>\mu</math> és <math>\nu</math> racionálisak. |
||
⚫ | |||
[[1994]]-ben, [[Blair Spearman]] és [[Kenneth S. Williams]] egy alternatív kritériumot talált, |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
ahol |
ahol |
||
:<math>a = \frac{5(4\nu+3)}{\nu^2+1}</math> |
:<math>a = \frac{5(4\nu+3)}{\nu^2+1}</math>. |
||
Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet |
Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet |
A lap 2016. augusztus 8., 00:36-kori változata
A matematikában az ötödfokú egyenlet egy polinom egyenlet, aminek a foka 5. Általános alakja:
ahol egy test elemei, általában a racionális számok, a valós számok vagy a komplex számok elemei, valamint .
Ötödfokú egyenlet gyökeinek meghatározása
Egy polinom gyökeinek meghatározása — azon értékek, amelyek teljesítik az egyenletet — racionális együtthatók esetében kiemelkedő matematikai probléma volt.
Lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök racionálisak, irracionálisak, valósak vagy komplexek; vannak megoldóképleteik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az -edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az Abel–Ruffini-tétel, amelyet először 1824-ben publikáltak mint az algebrai csoportelmélet egyik első alkalmazását. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre, ami nem fejezhető így ki: . Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van.
A gyakorlatban polinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges, és más numerikus megoldó módszerek, mint például a Laguerre-módszer vagy a Jenkins–Traub algoritmus valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd- vagy magasabb fokú egyenletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz, és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket.
Megoldható ötödfokú egyenletek
Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például felírható mint . Más ötödfokú egyenlet, mint például a nem fejezhető ki ilyen alakban. Évariste Galois kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinomegyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a Galois-elmélet területét. Ezeket az eljárásokat először John Stuart Glashan, George Paxton Young és Carl Runge alkalmazta 1885-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a forrásokban). Azt találták, hogy bármely irreducibilis ötödfokú polinom racionális együtthatókkal Bring-Jerrard formában,
gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú:
- ,
ahol és racionálisak.
1994-ben, Blair Spearman és Kenneth S. Williams egy alternatív kritériumot talált,
- .
A kapcsolat az 1885-ös és az 1994-es parametrizáció között egyszerűen látható, ha a következőt definiáljuk:
- ,
ahol
- .
Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet
racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének
valamely racionális -ra.
Mivel a Tschirnhaus-transzformációk megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal.
Források
- Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-5404-3826-2.