„Catalan-sejtés” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2015. augusztus 27., 14:24-kori változata

A Catalan-sejtés vagy Mihăilescu-tétel a számelmélet egyszerűen megfogalmazható tétele, amelyet a belga Eugène Charles Catalan fogalmazott meg 1844-ben. A tétel szerint a 8= 2³ és 9 = 3² az egyetlen példa közvetlen egymásutáni teljes hatványokra.

Másképpen a Catalan-sejtés azt állítja, hogy az

x^a ‒ y^b = 1

egyenlet egyetlen megoldása x,a,y,b > 1 egész számok esetén:

3² ‒ 2³ = 1

Ez az egyik klasszikus példa úgynevezett exponenciális diofantoszi egyenletre. Könnyen látható, hogy elég azt az esetet belátni, amikor a, b prímszámok. Carl Ludwig Siegel egy 1929-es tételéből következik, hogy rögzített a, b esetén csak véges sok megoldás van. Robert Tijdeman 1976-ban, felhasználva Alan Baker logaritmusok lineáris kombinációira adott elméletét, bebizonyította, hogy összesen is csak véges sok ilyen számpár van. Végül Preda Mihǎilescu 2002-ben bebizonyította Catalan-sejtését, tehát az most már sejtésből tétellé vált.

Története

A probléma Levi ben Gershonig követhető vissza, aki 1343-ben belátta azt az esetet, amikor x és y 2 vagy 3.

1976-ban Robert Tijdeman a transzcendenciaelmélet Baker-módszerét alkalmazta, és korlátokat adott a-ra és b-re, továbbá felülről becsülte mind a négy számot a és b függvényével és az addig ismert korlátok felhasználásával. A korlátra exp exp exp exp 730 adódott.^[1] Ezzel véges, de nagy számú kivétellel megoldotta a Catalan-sejtést. A korlát kezelhetetlenül nagy, és a bizonyítás befejezése túl sok erőforrást igényelne.

Preda Mihăilescu 2002-ben befejezte a bizonyítást, és a Journal für die reine und angewandte Mathematik folyóiratban, 2004-ben publikálta. Nem a régebbi ötletet vitte tovább, hanem körosztási testeket és Galois-modulusokat használt. Yuri Bilu a Bourbaki-szemináriumon mutatta be a bizonyítást.

Pillai-sejtés

A Pillai-sejtés a teljes hatványok különbségeivel foglalkozik. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai, indiai matematikus vetette fel, hogy a hatványszámok különbségei a végtelenbe tartanak. Ekvivalensen, minden pozitív egész véges sokszor áll elő két hatványszám különbségeként. Általánosabban, az A, B, C rögzített egészekre az $|Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}$ különbség minden λ-ra 1-nél kisebb.^[2]

Az általános sejtés az abc-sejtés következménye lenne.^[2]^[3]

Erdős Pál szerint van egy c szám, hogy ha d két n-edik hatvány különbsége, akkor elég nagy n-re d>n^c.

Jegyzetek

↑ Ribenboim, Paulo. 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. Springer-Verlag, 236. o. (1979). ISBN 0-387-90432-8
↑ ^a ^b Narkiewicz, Wladyslaw. Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT, Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, 253–254. o. (2011). ISBN 0-857-29531-4
↑ Schmidt, Wolfgang M.. Diophantine approximations and Diophantine equations, 2nd, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 207. o. (1996). ISBN 3-540-54058-X

Források

Catalan, Eugene. (1844): Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur. J. Reine Angew. Math., 27:192.
Preda Mihăilescu (2004). „Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture”. J. Reine angew. Math. 572 (572), 167–195. o. DOI:10.1515/crll.2004.048.
Paulo Ribenboim. Catalan's Conjecture. Academic Press (1994). ISBN 0-12-587170-8 Predates Mihăilescu's proof.
Robert Tijdeman (1976). „On the equation of Catalan”. Acta Arith. 29 (2), 197–209. o.
Tauno Metsänkylä (2004). „Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved” (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 41 (1), 43–57. o. DOI:10.1090/S0273-0979-03-00993-5.
Yuri Bilu (2004). „Catalan's conjecture (after Mihăilescu)”. Astérisque 294, vii, 1–26. o.

További információk

https://web.archive.org/web/20021001173550/http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_24_02.html
P. Mihailescu (2004). „Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s conjecture” (angol nyelven). Crelle's Journal (572), 167–195. o.

[1] Ribenboim, Paulo. 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. Springer-Verlag, 236. o. (1979). ISBN 0-387-90432-8

[rnt-2] Narkiewicz, Wladyslaw. Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT, Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, 253–254. o. (2011). ISBN 0-857-29531-4

[3] Schmidt, Wolfgang M.. Diophantine approximations and Diophantine equations, 2nd, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 207. o. (1996). ISBN 3-540-54058-X

[1]

[2]

[3]

@@ 36. sor: / 36. sor: @@
 * {{cite journal|author=P. Mihailescu|title=Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s conjecture|journal=Crelle's Journal|issue=572|year=2004|pages=167–195|url=http://www.degruyter.de/journals/crelle/2004/572_167.html|language=angol}}
+{{Nemzetközi katalógusok}}
 {{DEFAULTSORT:Catalansejtes}}
 [[Kategória:Számelmélet]]