Abc-sejtés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A szócikk címe technikai okok miatt pontatlan. A helyes cím: abc-sejtés vagy ABC-sejtés.

Az abc-sejtés két matematikai állítás összefoglaló neve, melyet David Masser (1985) és Joseph Oesterlé (1988) fogalmazott meg. Az egyik sejtés szerint az abc-számhármasok minőségének van egy maximális értéke. A másik sejtés pedig ezen minőségértékek számosságára tesz még szigorúbb kijelentést.

Az abc-sejtések kiemelt fontosságúak, mert egy sor másik matematikai sejtést lehet segítségükkel bizonyítani, vagy a már meglévő bizonyítások válhatnának egyszerűbbekké.

2012 szeptemberében Mocsizuki Sinicsi, a Kiotói Egyetem matematikusa azt nyilatkozta, hogy 500 oldalas tanulmányában sikerült bizonyítania a sejtés gyengébb állítását.[1]

A sejtés pontos megértéséhez először meg kell ismerkedni az abc-számhármasok fogalmával és ezek néhány tulajdonságával.

Abc-számhármasok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az abc-számhármas három olyan különböző pozitív egész szám, melyre igaz a következő három állítás mindegyike:

1. a + b = c.

2. Az a és b számnak nincs 1-nél nagyobb közös osztója, tehát a két szám relatív prím. (Az első két feltétel következménye, hogy akkor mind a három szám relatív prím.)

3. A c szám nagyobb, mint a három szám prímosztóinak szorzata (tehát abc radikálja, jele rad(abc)).

Végtelen sok ilyen abc-számhármas van. A bizonyításhoz tekintsük az a = 1, b = 9n-1, c = 9n számhármasokat, ahol n nullánál nagyobb egész. Ha minden n értékre abc-számhármast kapunk, igazoltuk, hogy végtelen sok ilyen számhármas létezik.

Mielőtt a bizonyítást elkezdenénk, lássunk be egy segédtételt: b = 9n-1 mindig osztható 8-cal. Ehhez egy bizonyítási út az indukciós bizonyítás. n = 1 esetén b=8, ami osztható nyolccal, az állítás igaz. Tegyük fel, hogy n=k-ra az állítás igaz, vagyis 9k-1 osztható 8-cal.

Vizsgáljuk az n=k+1 esetet: b = 9k+1-1 = 9*9k -1 = 9*9k-1-9+9 hiszen ha ugyan azt a számot elvesszük és hozzáadjuk, az egyenlőség nem változik. Ezek után megváltoztatom az összeg tagjainak sorrendjét, amit szabadon megtehetek az összeadás kommutatív tulajdonsága miatt: b = 9*9k -9 -1+9 Az összeadás első két tagjából kiemelek 9-et, második két tagjánál pedig elvégzem az összeadást: b = 9*(9k -1)+8. Az összeg első tagja osztható 8-cal az indukciós feltétel miatt, a második tagnál nyilvánvaló. Így b is osztható 8-cal, mivel az összeg minden tagja osztható vele.

Ennyi előkészítés után visszatérhetünk tételünk bizonyításához: Az nyilvánvaló, hogy az a és b legnagyobb közös osztója 1 és az a+b=c feltétel teljesül.

Mivel b osztható 8-cal, így b = 23 * m. A radikálnak a definícióból közvetlen következő tulajdonsága szerint rad(m)<=m. (Az egyenlőség négyzetmentes számok esetében áll fenn.) Ezért rad(b) <= 2*m. rad(a)=1 és rad(c)=3. Mivel a,b,c páronként relatív prímek, rad(abc) = rad(a)*rad(b)*rad(c). Ezért rad(abc) <= 2*3*m. Viszont c = 8*m+1, így igazolt, hogy c > rad(abc) így beláttuk, hogy minden n értékre a,b,c egy abc-számhármas.

Az abc-számhármasok minősége[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az abc számhármasokhoz hozzárendelhetünk egy mutatószámot (jele "q"). Ennek kiszámítása a harmadik feltételben is szereplő radikál segítségével történik (jele "rad(abc)". A minőség az a szám, ahányadik hatványra emelve a radikált, megkapjuk "c"-t.

Képlettel leírva: rad(abc)^q = c. Amiből következik, hogy a minőség számítása: q = log(c) / log(rad(abc)).

Mivel az abc-számhármasok esetén a c szám mindig nagyobb, mint a radikál, a minőség mindig nagyobb, mint 1.

Az abc-sejtés állításai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A matematikusok azt vették észre, hogy az abc-számhármasok minőségértéke minden esetben elég alacsony szám. 1,63-at elérő számhármast még senki sem talált. A gyengébbik sejtés pontosan ezt fogalmazza meg: az abc-számhármasok minősége egy konkrét számértéket sosem halad meg. (Hogy mi ez a számérték, az már másodlagos kérdés, általában 2-nél kisebb számra gondolnak.)

Fogalmazzuk meg az állítást formálisan is: Minden ε > 0 számhoz létezik egy K > 0 konstans, hogy minden abc-számhármashoz (ahol a,b,c pozitív egész számok, a és b relatív prímek és a+b=c) teljesül: c < K * rad(abc)1+ε. (q > 1+ε jelöli azt a minőség értéket, ami szerint a tétel állítása szerint csak véges sok magasabb minőségű a,b,c számhármas van. Definíció szerint q=log(c)/log(rad(abc)) ezért log(c)>(1+ε)*log(rad(abc)); a logaritmus tulajdonságait figyelembe véve így log(c)>log(rad(abc)1+ε). Mivel a logaritmus függvény szigorúan monoton, így c > rad(abc)1+ε.); Viszont mivel a tétel állítása szerint az egyenlőtlenség jobb oldalának van maximuma, így található olyan K ('elegendően kicsíny') konstans, hogy a tétel szerinti egyenlőtlenség teljesüljön. Ez egy szép példa arra, amikor a matematikában különben elkerülhetetlen formalizálás nehezebben érthetővé teszi a mögötte lévő gondolati lényeget.)

Még egy megjegyzés a formalizáláshoz: Egyes szakirodalmakban az egyenlőtlenség felírása meg van fűszerezve abszolút érték jelekkel, illetve előfordul a MAX(a,b,c) kitétel is. Ezekre az a+b+c=0 formalizmus esetén van szükség, amit az első (Masser és Oesterlé) abc-sejtésről szóló publikációk alkalmaztak. Ez logikailag teljesen egyenértékű az itt használt a+b=c formalizmussal.

A második, erősebb állítás pedig így hangzik: Bármilyen minőség-értéket választunk is ki, csak véges sok annál nagyobb minőségű számhármas létezik.

Ha az erősebb állítás igaz, igaz a gyengébb is. Ha a gyengébb nem igaz, nem igaz az erősebb sem. Végül lehetséges, hogy csak a gyengébb igaz, az erősebb nem.

Ezek után felírhatjuk, hogy pontosan minek az igazolását jelentette be Mocsizuki Sinicsi: Max(a,b,c)<= K * rad(abc)L alkalmas K, L konstansokra - ami a sejtés gyengébb formájának az egyik változata.

Számítási példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Keressünk abc-számhármast! Vegyünk két különböző pozitív egész számot (a-t és b-t), adjuk őket össze, és megkapjuk c-t! Legyen a = 16, b = 17, vagyis c = 33.

Az első feltétel tehát ezzel adott. A második feltétel ellenőrzéséhez fel kell bontani a három számot prímtényezőire:

a = 2 * 2 * 2 * 2

b = 17 (önmagában prím, nem bontható tovább)

c = 3 * 11

Látható tehát, hogy közös prímtényező semelyik két számban nem fordul elő. A 16-osban csak 2-es prímtényező van, a 17-esben csak a 17-es, a 33-asban pedig a 3-as és 11-es, nincs köztük átfedés sehol.

Végül nézzük a harmadik feltételt! Ehhez ki kell számítani abc radikálját. Vesszük az összes előforduló prímosztót, a 2-t, 17-et, 3-at és 11-et, és összeszorozzuk őket. A radikál tehát: 2 * 17 * 3 * 11 = 1122. Mivel ez nagyobb, mint a c szám, a harmadik feltétel nem teljesült, ez nem egy abc-számhármas.

Próbálgatásokkal is rájöhetünk, hogy a legtöbb számhármas nem abc-számhármas.

Vegyünk azért egy pozitív példát is: a = 5, b = 27, vagyis c = 32. Prímtényezők:

a = 5 (önmagában prím, nem bontható tovább)

b = 3 * 3 * 3

c = 2 * 2 * 2 * 2 * 2

Látjuk, hogy közös prímosztójuk nincs, a második feltétel teljesül. A radikál értéke 5 * 3 * 2 = 30. Ez tehát kisebb, mint a c szám, tehát találtunk egy abc-számhármast.

Nézzük meg, mekkora ennek a számhármasnak a minősége (8 tizedesjegyre kerekítve): q = log (32) / log (30) = 1,50514997 / 1,47712125 = 1,01897523, tehát 1-nél alig nagyobb érték.

A legnagyobb minőségű abc-számhármast Eric Reyssat találta 2004-ben. Itt a = 2, b = 6436341, c = 6436343. Prímtényezőjük:

a = 2

b = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 109

c = 23 * 23 * 23 * 23 * 23

A radikál tehát 2 * 3 * 109 * 23 = 15042, ami pedig jóval kisebb a c számnál.

Számoljuk ki a minőséget: q = log(6436343) / log(15042) = 6,80863918 / 4,17730558 = 1,62991168. Ennél nagyobb minőséget eddig még nem találtak.

Kis radikálú példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ε > 0 kikötésre szükség van, mivel végtelen sok a, b, c hármas van, amire rad(abc) < c. Egyszerű példa a következő:

a = 1
b = 26n − 1
c = 26n

ahol a és c egy kettes szorzó erejéig járul hozzá a radikálhoz, és mivel b osztható 9-cel, azért rad(abc) < 2c/3. A 6n kitevőt módosítva b-nek nagyobb négyzetosztói lesznek. Például, ha 6n helyett p(p-1)n-et írunk, ahol p prímszám, akkor b osztható lesz p2-tel, mivel 2p(p-1) ≡ 1 (mod p2) és 2p(p-1) - 1 tényezője lesz b-nek. A legnagyobb minőségű hármasok alább láthatók; a legnagyobb minőséget Eric Reyssat találta (Lando & Zvonkin 2004, p. 137):

a = 2
b = 310 109 = 6,436,341
c = 235 = 6,436,343
rad(abc) = 15042

aminek minősége 1,6299.

Számítógépes módszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

2006-ban a hollandiai Leiden University és a Kennislink tudományos intézet elindította az ABC@Home projektet, amely nyilvános számítógépes hálózat segítségével keresi az abc-számhármasokat. Az alábbi listát állították össze 2011-ben, és a munka jelenleg is folyik.

Számhármasok eloszlása[2]
  q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4
c < 102 6 4 4 2 0 0
c < 103 31 17 14 8 3 1
c < 104 120 74 50 22 8 3
c < 105 418 240 152 51 13 6
c < 106 1,268 667 379 102 29 11
c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17
c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25
c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34
c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51
c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64
c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74
c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84
c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98
c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112
c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126
c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143
c < 1018 14,482,059 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160

2012. szeptemberéig 23,1 millió abc-számhármast találtak, és bejelentették, hogy 1020 alatti "c"-re megtalálták az összeset.[3]

Legnagyobb minőségű abc-számhármasok[4]
  q a b c Felfedező
1 1.6299 2 310​·​109 235 Eric Reyssat
2 1.6260 112 32​·​56​·​73 221​·​23 Benne de Weger
3 1.6235 19·1307 7·​292​·​318 28​·​322​·​54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4 1.5808 283 511​·​132 28​·​38​·​173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5 1.5679 1 2·37 54​·​7 Benne de Weger

Elméleti eredmények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az abc-sejtés feltételeiből következik, hogy c korlátozható az abc radikáljával, ami egy nem lineáris függvény. Emellett ismertek a következő exponenciális korlátok:

c < \exp{ \left(K_1 \operatorname{rad}(abc)^{15}\right) } (Stewart & Tijdeman 1986),
c < \exp{ \left(K_2 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{2}{3} + \varepsilon}\right) } (Stewart & Yu 1991), és
c < \exp{ \left(K_3 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{1}{3} + \varepsilon}\right) } (Stewart & Yu 2001).

ahol

  • K1 egy alkalmasan megválasztott konstans, ami nem függ a-tól, b-től, vagy c-től
  • K2 és K3 csak ε-tól függ

Ezek a korlátok érvényesek minden hármasra, ahol c > 2.

Következményei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az abc-sejtés számos következménye között találhatók már ismert eredmények, és találhatók más sejtések is, amelyek az abc-sejtés bizonyítása esetén szintén bizonyítottá válnak.

Általánosításai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

(Baker 1998) egy erősebb egyenlőtlenséget javasolt, ahol rad(abc)-t ε−ωrad(abc) helyettesíti, ahol ω a, b és c különböző prímosztóinak összesített száma.(Bombieri & Gubler 2006, p. 404).

Andrew Granville sejtése szerint a bal oldalra írhatnánk azt is, hogy O(rad(abc) Θ(rad(abc))), ahol Θ(n) azoknak az n-nél nem nagyobb egészeknek a száma, amelyeknek nincs más prímtényezői, mint n-nek.

(Browkin & Brzeziński 1994) megalkotta az n-sejtést, \scriptstyle n \,>\, 2 egészekre.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Masser, D. W. (1985), "Open problems", in Chen, W. W. L., Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory, London: Imperial College

  • Nitaj, Abderrahmane (1996.). „La conjecture abc”. Enseign. Math. 42 (1–2), 3–24. o.   (franciául)

Oesterlé, Joseph (1988), "Nouvelles approches du "théorème" de Fermat", Astérisque, Séminaire Bourbaki exp 694 (no. 161): 165–186, Sablon:MR, ISSN 0303-1179, <http://www.numdam.org/item?id=SB_1987-1988__30__165_0>