Thue–Siegel–Roth-tétel
A Thue–Siegel–Roth-tétel, más néven Roth-tétel az algebrai számok approximációjának alapvető tétele. E tétel azt állítja, hogy az algebrai számok nem közelíthetők túl sokféleképpen racionális számokkal, rosszul approximálhatók. Itt a jól, illetve a rosszul fogalmát több mint ötven évbe telt tisztázni Joseph Liouville-től (1844) kezdve, majd Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947), és Klaus Roth (1955) is foglalkozott vele.
Állítás[szerkesztés]
A tétel azt állítja, hogy egy irracionális algebrai szám, approximációs kitevője egyenlő 2-vel, vagyis adott -ra az
egyenlőtlenségnek véges sok és relatív prím egész megoldása van, ahogy Siegel sejtette. Így minden irracionális α számra
ahol pozitív szám, ami csak -tól és -tól függ.
Diszkussziója[szerkesztés]
Az első eredmény Liouville tétele volt, ami approximációs kitevőt adott a legalább másodfokú α algebrai számra, ahol a szám foka megegyezik a minimálpolinomjának fokával. Ez már elég arra, hogy belássuk, hogy vannak transzcendens számok. Thue megállapította, hogy a szám fokánál, d-nél kisebb kitevő hasznos lenne a diofantoszi egyenlőtlenségek megoldásában, és a Thue-tételben (1909) a d/2 + 1 + ε kitevőt adta meg. Siegel ezt a kitevőt 2√d-re, Dyson √(2d)-re javította 1947-ben.
Roth eredménye, a 2+ε bizonyos értelemben a lehető legjobb, mert a fenti állítás nem működik ε = 0-val; Dirichlet approximációs tétele szerint ekkor végtelen sok megoldás van. Ennek ellenére Serge Lang felvetette azt a sejtést, hogy az
egyenletnek véges számú megoldása van p-ben és q-ban. Ha α végigfut az összes valós számon, a transzcendenseken is, akkor Roth és Lang következtetése majdnem minden α-ra fennáll. Így mindkét eredmény, a tétel és a sejtés is azt állítja, hogy egy nullmértékű halmaz kivételével mindenütt teljesül.
A tétel nem ad használható korlátokat adott α esetén p-re és q-ra.[1] Davenport és Roth (1955)[2] megmutatta, hogy Roth módszere alkalmas p/q becslésére. Azonban mivel C(ε)-t nem tudjuk kiszámítani, az egyenlet megoldása vagy a megoldásokra korlátok adása csak távoli cél lehet.
A bizonyítás módszere[szerkesztés]
A bizonyítás módszere egy több változós segédfüggvényt használ, ami ellentmondáshoz vezet túl sok túl jó approximáció esetén. Természeténél fogva nem hatásos. Felhasználható egyes diofantoszi egyenletek megoldásainak számának korlátozása.
Általánosításai[szerkesztés]
Magasabb dimenzióban Schmidt altér tétele. Más kiterjesztések használják például a p-adikus metrikát,[3] Roth módszerén alapulva.
LeVeque általánosította a módszert, hogy megmutassa, hasonló korlátok teljesülnek más számtestek fölött. Legyen H(ξ) a ξ algebrai szám magassága, azaz minimálpolinomjának együtthatóinak legnagyobb abszolút értéke! Legyen adva egy κ>2 szám! Ekkor egy adott α algebrai számra egy K testben az
egyenletnek véges sok megoldása van K-ban.[4]
Jegyzetek[szerkesztés]
- ↑ Diophantine Geometry: An Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 344–345. o. (2000). ISBN 0-387-98981-1
- ↑ (Davenport & Roth 1955)
- ↑ Ridout, D. (1958). „The p-adic generalization of the Thue-Siegel-Roth theorem”. Mathematika 5, 40–48. o.
- ↑ LeVeque, William J.. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications, II:148–152. o. [1956] (2002). ISBN 978-0-486-42539-9
Források[szerkesztés]
- Davenport, H. & Roth, Klaus Friedrich (1955), "Rational approximations to algebraic numbers", Mathematika 2: 160–167, ISSN 0025-5793, DOI 10.1112/S0025579300000814
- Dyson, Freeman J. (1947), "The approximation to algebraic numbers by rationals", Acta Mathematica 79: 225–240, ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02404697
- Roth, Klaus Friedrich (1955), "Rational approximations to algebraic numbers", Mathematika 2: 1–20, 168, ISSN 0025-5793, DOI 10.1112/S0025579300000644
- Wolfgang M. Schmidt (1980, 1996). „Diophantine approximation”. Lecture Notes in Mathematics 785, Kiadó: Springer. DOI:10.1007/978-3-540-38645-2.
- Wolfgang M. Schmidt (1991). „Diophantine approximations and Diophantine equations”. Lecture Notes in Mathematics 1467, Kiadó: Springer Verlag. DOI:10.1007/BFb0098246.
- Siegel, Carl Ludwig (1921), "Approximation algebraischer Zahlen", Mathematische Zeitschrift 10 (3): 173–213, ISSN 0025-5874, DOI 10.1007/BF01211608
- Thue, A. (1909), "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik 135: 284–305, ISSN 0075-4102, <http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0135>