Fermat–Catalan-sejtés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A számelméletben a Fermat–Catalan-sejtés a nagy Fermat-tétel és a Catalan-sejtés kombinációja. Nevét is ez alapján kapta. A sejtés szerint az

a^m + b^n = c^k\quad

 

 

 

 

(Eq.1)

egyenletnek véges sok (a,b,c,m,n,k) megoldása van, ahol mindegyik szám pozitív egész, és a, b, c relatív prímek, és az m, n, k hármasra

\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1.

 

 

 

 

(Eq.2)

.

2008-ban az (Eq.1) egyenletnek ezek a megoldási voltak ismertek:[1]

1^m+2^3=3^2\;
2^5+7^2=3^4\;
13^2+7^3=2^9\;
2^7+17^3=71^2\;
3^5+11^4=122^2\;
33^8+1549034^2=15613^3\;
1414^3+2213459^2=65^7\;
9262^3+15312283^2=113^7\;
17^7+76271^3=21063928^2\;
43^8+96222^3=30042907^2\;

Ezek közül az első (1m+23=32) megoldása egyértelmű, ha a, b és c egyike 1; ez a Catalan-sejtés, ma már tétel, amit 2002-ben Preda Mihăilescu igazolt. Ugyan ez az (Eq.1) egyenletre végtelen sok megoldást ad, mivel m bármilyen 6-nál nagyobb egész szám lehet, de minden ilyen megoldása viszont már egyértelmű.

A Faltings-tétel szerint minden rögzített m, n és k egészre, ami eleget tesz az (Eq.2) egyenletnek, véges sok, az (Eq.1) egyenletet megoldó (abc) relatív prím hármas létezik, de a teljes Fermat–Catalan-sejtés ennél többet állít.

Az abc-sejtés implikálja a Fermat–Catalan-sejtést.[1]

A Beal-sejtés azt állítja, hogy a Fermat–Catalan-sejtés minden megoldásában szerepel a 2 mint kitevő.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. ^ a b Pomerance, Carl (2008), "Computational Number Theory", in Gowers, Timothy; Barrow-Green, June & Leader, Imre, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, pp. 361–362, ISBN 978-0-691-11880-2.