Fermat–Catalan-sejtés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A számelméletben a Fermat–Catalan-sejtés a nagy Fermat-tétel és a Catalan-sejtés kombinációja. Nevét is ez alapján kapta. A sejtés szerint az

 

 

 

 

(Eq.1)

egyenletnek véges sok (a,b,c,m,n,k) megoldása van, ahol mindegyik szám pozitív egész, és a, b, c relatív prímek, és az m, n, k hármasra

 

 

 

 

(Eq.2)

.

2008-ban az (Eq.1) egyenletnek ezek a megoldási voltak ismertek:[1]

Ezek közül az első (1m+23=32) megoldása egyértelmű, ha a, b és c egyike 1; ez a Catalan-sejtés, ma már tétel, amit 2002-ben Preda Mihăilescu igazolt. Ugyan ez az (Eq.1) egyenletre végtelen sok megoldást ad, mivel m bármilyen 6-nál nagyobb egész szám lehet, de minden ilyen megoldása viszont már egyértelmű.

A Faltings-tétel szerint minden rögzített m, n és k egészre, ami eleget tesz az (Eq.2) egyenletnek, véges sok, az (Eq.1) egyenletet megoldó (abc) relatív prím hármas létezik, de a teljes Fermat–Catalan-sejtés ennél többet állít.

Az abc-sejtés implikálja a Fermat–Catalan-sejtést.[1]

A Beal-sejtés azt állítja, hogy a Fermat–Catalan-sejtés minden megoldásában szerepel a 2 mint kitevő.

Források[szerkesztés]

  1. ^ a b Pomerance, Carl (2008), "Computational Number Theory", in Gowers, Timothy; Barrow-Green, June & Leader, Imre, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, pp. 361–362, ISBN 978-0-691-11880-2.