Neumann-sor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Neumann-sor alatt a következő alakú sorokat értik:

ahol T egy operátor. Ez a mértani sorozat összegének, az úgynevezett mértani sornak az általánosítása.

Az ilyen sorokat Carl Neumann matematikusról nevezték el, aki 1877-ben használta fel a potenciálelméletben. A Neumann-sort használják a funkcionálanalízisben is és szintén hasznos korlátos operátorok spektrálanalízisénél. A Fredholm-integrálegyenletek megoldásának alapját szolgáló Liouville-Neumann-sor is a Neumann-sorra alapul.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Tegyük fel, hogy T egy korlátos operátor az X normált téren. Ha a Neumann-sor konvergens az operátornormában, akkor Id – T invertálható, és az inverz maga a sor összege:

A konvergencia garantált, ha X Banach-tér és |T| < 1 az operátornormában. Vannak viszont további eredmények is, amelyek gyengébb feltételek mellett is garantálják a konvergenciát. Például elég, ha a feltételt teljesíti. Ekkor

A lineáris operátorok invertálhatósága[szerkesztés]

Legyen V Banach-tér, például , és korlátos operátor, például az négyzetes mátrixszal megadott lineáris leképezés. Tudjuk, hogy A minden skálázási tényezőre felírható, mint

, ahol

Ha most van olyan skálázási tényező, hogy az indukált operátornormában, akkor A invertálható, és inverze megadható a Neumann-sor felhasználásával:

Az invertálható operátorok halmazának nyíltsága[szerkesztés]

Legyenek Banach-terek, és legyen invertálható operátor. Ekkor minden más operátorra, T-re:

Ha S és T távolsága az operátornormában becsülhető úgy, hogy , ahol 0 < q < 1, akkor T szintén invertálható, és inverzének operátornormája ::.
Bizonyítás: Felbontjuk T-t a következőképpen:
Alkalmazzuk a második tényezőre a Neumann-sort. A konvergenciát a
feltétel biztosítja.

Következik, hogy az invertálható operátorok halmaza nyílt az operátornormára vonatkozóan.

Bibliográfia[szerkesztés]

  • Werner, Dirk. Funktionalanalysis (német nyelven). Springer Verlag (2005). ISBN 3-540-43586-7