Hadamard-szorzat

A matematikában a Hadamard-szorzat, más néven Schur-szorzat vagy elemenkénti szorzat egy két változós művelet, aminek tényezői ugyanolyan dimenziójuk. A szorzatban álló elemek a tényezők megfelelő elemeinek szorzatai. Nem tévesztendő össze a közönséges mátrixszorzással. Nevét a francia Jacques Hadamard, vagy a német Issai Schur után kapta.

A Hadamard-szorzás asszociatív, disztributív a mátrixok összeadására, és a közönséges mátrixszorzástól eltérően kommutatív is.

Definíció

Legyenek $A, B$ ugyanolyan dimenziójú, $m \times n$-es mátrixok. Ekkor A és B Hadamard-szorzata, $A \circ B$ is $m \times n$-es, és

$(A \circ B)_{i,j} = (A)_{i,j} \cdot (B)_{i,j}$.

Nem azonos méretű mátrixokra a Hadamard-szorzást nem értelmezzük.

Tulajdonságai

A Hadamard-szorzás kommutatív, asszociatív és disztributív a mátrixok összeadására:

$A \circ B = B \circ A,$

$A \circ (B \circ C) = (A \circ B) \circ C,$

$A \circ (B + C) = A \circ B + A \circ C.$

A Hadamard-szorzás identitásmátrixa az $m \times n$-es mátrixok halmazán az az $m \times n$-es mátrix, aminek minden eleme 1. Ez különbözik a szokásos identitásmátrixtól. Egy mátrix Hadamard-invertálható, ha egy eleme sem nulla.

A $D_x$ és a $D_y$ átlós mátrixokra, és főátlójukra, mint $x$ és $y$ vektorokra teljesül:

$x^*(A \circ B)y = \mathrm{tr}(D_x^* A D_y B^T)$,

ahol $x^*$ az $x$ adjungáltja. Általában, csupa egy vektorokkal megmutatható, hogy a Hadamard-szorzat elemeinek összege egyenlő $AB^T$ nyomával. Négyzetes $A$ és $B$ mátrixok Hadamard-szorzatának sorösszege éppen az $AB^T$ főátlóján álló elemei

$\sum_j (A \circ B)_{i,j} = (AB^T)_{i,i}.$

A Hadamard-szorzat a Kronecker-szorzat principális részmátrixa.

Schur szorzástétele

Pozitív szemidefinit mátrixok Hadamard-szorzata is pozitív szemidefinit. Ez Schur szorzástétele néven ismert. Sőt, ha A és B pozitív szemidefinit, akkor:

$\det(A \circ B) \ge \det(A) \det(B). \,$

Programozási nyelvekben

A Hadamard-szorzást egyes programozási nyelvek beépítetten tartalmazzák. A MATLAB nyelvben a .* számítja. Fortranban és Mathematicában egyszerűen a * jelöli, míg a közönséges mátrixszorzat rendre a matmul függvénnyel, illetve . jellel számítható. Pythonban a sympy szimbolikus matematikai függvénytár tartalmazza, az array() adattípushoz kapcsolódóan, míg a közönséges mátrixszorzáshoz a mátrix (matrix)osztályt kell használni. A kettő között beépített konverziókkal lehet váltani. Az Eigen C++ függvénytár rendszere hasonló. R-ben a Hadamard-szorzat alapértelmezett, a mátrixszorzás a matrix.A%*%matrix.B alakban valósítható meg.

Alkalmazása

A Hadamard-szorzatot veszteséges tömörítő algoritmusok használják, például a JPEG.