Hadamard-szorzat

A matematikában a Hadamard-szorzat, más néven Schur-szorzat vagy elemenkénti szorzat egy kétváltozós művelet, aminek tényezői ugyanolyan dimenziójú mátrixok. A szorzatban álló elemek a tényezők megfelelő elemeinek szorzatai. Nem tévesztendő össze a közönséges mátrixszorzással. Nevét a francia Jacques Hadamard vagy a német Issai Schur után kapta.

A Hadamard-szorzás asszociatív, disztributív a mátrixok összeadására, és a közönséges mátrixszorzástól eltérően kommutatív is.

Definíció

Legyenek $A,B$$A,B$ ugyanolyan dimenziójú, $m\times n$$m\times n$-es mátrixok. Ekkor A és B Hadamard-szorzata, $A\circ B$$A\circ B$ is $m\times n$$m\times n$-es, és

$(A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}\cdot (B)_{i,j}$$(A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}\cdot (B)_{i,j}$.

Nem azonos méretű mátrixokra a Hadamard-szorzást nem értelmezzük.

Tulajdonságai

A Hadamard-szorzás kommutatív, asszociatív és disztributív a mátrixok összeadására:

$A\circ B=B\circ A,$$A\circ B=B\circ A,$

$A\circ (B\circ C)=(A\circ B)\circ C,$$A\circ (B\circ C)=(A\circ B)\circ C,$

$A\circ (B+C)=A\circ B+A\circ C.$$A\circ (B+C)=A\circ B+A\circ C.$

A Hadamard-szorzás identitásmátrixa az $m\times n$$m\times n$-es mátrixok halmazán az az $m\times n$$m\times n$-es mátrix, aminek minden eleme 1. Ez különbözik a szokásos identitásmátrixtól. Egy mátrix Hadamard-invertálható, ha egy eleme sem nulla.

A $D_{x}$$D_{x}$ és a $D_{y}$$D_{y}$ átlós mátrixokra, és főátlójukra, mint $x$$x$ és $y$$y$ vektorokra teljesül:

$x^{*}(A\circ B)y=\mathrm {tr} (D_{x}^{*}AD_{y}B^{T})$$x^{*}(A\circ B)y=\mathrm {tr} (D_{x}^{*}AD_{y}B^{T})$,

ahol $x^{*}$$x^{*}$ az $x$$x$ adjungáltja. Általában, csupa egy vektorokkal megmutatható, hogy a Hadamard-szorzat elemeinek összege egyenlő $AB^{T}$$AB^{T}$ nyomával. Négyzetes $A$$A$ és $B$$B$ mátrixok Hadamard-szorzatának sorösszege éppen az $AB^{T}$$AB^{T}$ főátlóján álló elemei

$\sum _{j}(A\circ B)_{i,j}=(AB^{T})_{i,i}.$$\sum _{j}(A\circ B)_{i,j}=(AB^{T})_{i,i}.$

A Hadamard-szorzat a Kronecker-szorzat principális részmátrixa.

Schur szorzástétele

Pozitív szemidefinit mátrixok Hadamard-szorzata is pozitív szemidefinit. Ez Schur szorzástétele néven ismert. Sőt, ha A és B pozitív szemidefinit, akkor:

$\det(A\circ B)\geq \det(A)\det(B).\,$$\det(A\circ B)\geq \det(A)\det(B).\,$

Programozási nyelvekben

A Hadamard-szorzást egyes programozási nyelvek beépítetten tartalmazzák. A MATLAB nyelvben a .* számítja. Fortranban és Mathematicában egyszerűen a * jelöli, míg a közönséges mátrixszorzat rendre a matmul függvénnyel, illetve . jellel számítható. Pythonban a sympy szimbolikus matematikai függvénytár tartalmazza, az array() adattípushoz kapcsolódóan, míg a közönséges mátrixszorzáshoz a mátrix (matrix)osztályt kell használni. A kettő között beépített konverziókkal lehet váltani. Az Eigen C++ függvénytár rendszere hasonló. R-ben a Hadamard-szorzat alapértelmezett, a mátrixszorzás a matrix.A%*%matrix.B alakban valósítható meg.

Alkalmazása

A Hadamard-szorzatot veszteséges tömörítő algoritmusok használják, például a JPEG.